Задачи за контролно

[anonimka66]

Здравейте!Успях да реша няколко задачи от примерните контролни на госпожата,но ми останаха още 2.Бихте ли могли да ми помогнете?Адски много благодаря!
Задача 1
В окръжност с диаметър MN=12 см са построени хордите AB и BC(AB е перпендикулярна на BC).Ако дъгата AB е равна на 150 градуса,намерете височината на триъгълник ABC към страната AC.
Задача 2
Хордата AB с дължина 2 см разделя окръжност на две дъги които се отнасят както 1:2.Правата t е допирателна към окръжността в точка А.Правата m през центъра на окръжността,перпендикулярна на AB пресича t в точка С.Намерете дължината на AC.

[Knowledge Greedy]

Задача 1. В окръжност с диаметър MN=12 см са построени хордите AB и BC (AB е перпендикулярна на BC). Ако дъгата AB е равна на 150 градуса, намерете височината на триъгълник ABC към страната AC.
Решение:
Диаметърът MN като местоположение на точките M и N не ползваме, само като дължина [tex]2R=12[/tex].
Приемаме, че дъгата AB равна на 150 градуса е тази, която не съдържа върха С. Следователно вписаният ъгъл [tex]\angle ACB = 75^\circ[/tex] и по синусова теорема [tex]AB=2Rsin75^\circ=\cancel{12}.\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\cancel{4}}=3(\sqrt{6}+\sqrt{2})[/tex]

От условието AB е перпендикулярна на BC следва, че [tex]\angle ABC=90^\circ[/tex] - така [tex]AC[/tex] е също диаметър, а значи и хипотенуза, и по питагорова теорема намираме [tex]BC^2=12^2-(3(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2[/tex]
[tex]BC=3(\sqrt{6}-\sqrt{2})[/tex]

Лицето на триъгълник ABC е [tex]\frac{1}{2}3(\sqrt{6}+\sqrt{2}).3(\sqrt{6}-\sqrt{2})=18[/tex].
Изразено с височината към хипотенузата [tex]AC[/tex] същото лице ни дава височината
[tex]\frac{1}{2}AC.h_{AC}=\frac{1}{2}12.h_{AC}=18 \,\ \Rightarrow \,\ h_{AC}=3[/tex].
_____________
Ако мярката 150 градуса е на дъгата AB, която съдържа върха С, то сборът от мерките на дъгите АВ и АС е [tex]330^\circ[/tex], следователно [tex]\angle BAC =15^\circ[/tex] и отговорът остава същия т.к. разглежданият триъгълник е еднакъв на този от първия случай - разменени са само имената на върхове.
_____________
Забележка: [tex]sin75^\circ[/tex] е пресметнат по-горе като [tex]sin75^\circ=sin(45^\circ+30^\circ)[/tex]

Задача 2. Хордата AB с дължина 2 см разделя окръжност на две дъги които се отнасят както 1:2. Правата t е допирателна към окръжността в точка А. Правата m през центъра на окръжността и перпендикулярна на AB, пресича t в точка С. Намерете дължината на AC.
Решение: (Разчитам, че чертежът не е проблем - затова го пропускам )
Явно двете дъги са [tex]120^\circ[/tex] и [tex]240^\circ[/tex], а точката [tex]C[/tex] е откъм страната на по-малката от тях.
По друг начин казано, ако свържем [tex]O[/tex] с [tex]C[/tex] и пресечем [tex]OC[/tex] с окръжността - нека да е в точка [tex]M[/tex], то в триъгълника [tex]\Delta AOC[/tex] - правоъгълен, с [tex]\angle AOC=60^\circ[/tex] и точката [tex]M[/tex] е среда на хипотенузата [tex]OC[/tex].

Тогава [tex]OC=2R, \,\ OA=R=\frac{2}{\sqrt{3}}[/tex] и [tex]AC=2[/tex].
____________
Спестих конкретния начин на получаване на [tex]AC[/tex] - поне двайсет има, но като една идея - може стане с периферен ъгъл или например с равностранността на [tex]\Delta ABC.[/tex]

[inveidar]

mmm.png (28.97 KiB) Прегледано 1107 пъти

[tex]BH=\frac{1}{2}OB=3[/tex] см. О е центъра на окръжността.

[inveidar]

Задача 1. В окръжност с диаметър MN=12 см са построени хордите AB и BC (AB е перпендикулярна на BC). Ако дъгата AB е равна на 150 градуса, намерете височината на триъгълник ABC към страната AC.
Решение:
Диаметърът MN като местоположение на точките M и N не ползваме, само като дължина [tex]2R=12[/tex].
Приемаме, че дъгата AB равна на 150 градуса е тази, която не съдържа върха С. Следователно вписаният ъгъл [tex]\angle ACB = 75^\circ[/tex] и по синусова теорема [tex]AB=2Rsin75^\circ=\cancel{12}.\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\cancel{4}}=3(\sqrt{6}+\sqrt{2})[/tex]

От условието AB е перпендикулярна на BC следва, че [tex]\angle ABC=90^\circ[/tex] - така [tex]AC[/tex] е също диаметър, а значи и хипотенуза, и по питагорова теорема намираме [tex]BC^2=12^2-(3(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2[/tex]
[tex]BC=3(\sqrt{6}-\sqrt{2})[/tex]

Лицето на триъгълник ABC е [tex]\frac{1}{2}3(\sqrt{6}+\sqrt{2}).3(\sqrt{6}-\sqrt{2})=18[/tex].
Изразено с височината към хипотенузата [tex]AC[/tex] същото лице ни дава височината
[tex]\frac{1}{2}AC.h_{AC}=\frac{1}{2}12.h_{AC}=18 \,\ \Rightarrow \,\ h_{AC}=3[/tex].
_____________
Ако мярката 150 градуса е на дъгата AB, която съдържа върха С, то сборът от мерките на дъгите АВ и АС е [tex]330^\circ[/tex], следователно [tex]\angle BAC =15^\circ[/tex] и отговорът остава същия т.к. разглежданият триъгълник е еднакъв на този от първия случай - разменени са само имената на върхове.
_____________
Забележка: [tex]sin75^\circ[/tex] е пресметнат по-горе като [tex]sin75^\circ=sin(45^\circ+30^\circ)[/tex]

Малееееее, изби врабците с топ!!!

[Knowledge Greedy]

Добре де , ами как да начертая толкова голяма окръжност, като твоята?!
Екранът ми е само 20 инча (х 2,54 сm = 50 сm и 8 mm)

[inveidar]

Добре де , ами как да начертая толкова голяма окръжност, като твоята?!
Екранът ми е само 20 инча (х 2,54 сm = 50 сm и 8 mm)

За сметка на екрана топът е грандиозен! Майтап да става.