Да се намери отношението

[ева]

Квадратът ABCD и окръжност са разположени така,че окр.се допира до АС в точка С и центърът и лежи от онази страна на АС,където е и върхът D.Допирателните от D към окр.сключват ъгъл 120[tex]^\circ[/tex].
Да се намери отношението на лицето на квадрата и лицето на кръга.
отг.[tex]\frac{4+\sqrt{15}}{3\pi}[/tex]

[Davids]

KvadratOkrujnost.png (29.09 KiB) Прегледано 501 пъти

Отношението на двете лица е $k = \frac{S_{кв}}{S_{кр}} = \frac{a^2}{\pi r^2} = \frac{1}{\pi}.\big(\frac{a}{r}\big)^2 = \frac{t^2}{\pi}$, ако положим $t = \frac{a}{r}$ да е отношението между страната на квадрата и радиуса на окръжността.

$DO$ се явява свързваща между външната точка, от която са спуснати допирателната, и центъра на окръжността, следователно е ъглополовяща на ъгъла и $\angle ODK = 60^{\circ}$. Но $\Delta ODK$ е правоъгълен с $\angle K = 90^{\circ}$, следователно $OD = \frac{r}{sin60} = \frac{2r}{\sqrt{3}}$

От друга страна $OC \bot AC$ и $DM \bot AC \Rightarrow OC || DM$. Следователно $\angle OCD = \angle CDM = 45^{\circ}$.

Остана да направим една косинусова теорема за $\Delta DCO$:
$OD^2 = r^2 + a^2 - 2arcos45 = \frac{4r^2}{3}$
$3a^2 - 3\sqrt{3}ar - r^2 = 0 ||:r^2$

Спомняме си какво положихме на $t$ по-горе и получаваме:
$3t^2 - 3\sqrt{2}t - 1 = 0$
Единствен положителен корен е $t = \frac{\sqrt{2}}{6}(3 + \sqrt{15})$, при което $t^2 = \frac{4 + \sqrt{15}}{3}$ и отговорът окончателно
$k = \frac{4 + \sqrt{15}}{3\pi}$