окръжност

[moni2003petrova]

Окръжност k(J) е вписана в [tex]\triangle[/tex]ABC и се допира до страните AB, BC и AC съответно в точките M, N и P. Медианата CC1 пресича k в точките E и F (Е е между C и F), като CE=FC1. Ако AB=12см и AM=8 см, намерете периметъра на триъгълника ABC.

[Davids]

Ясно защо долната страна $AB$ е разделена на следните отсечки: $AC_1 = 6; C_1M = 2; MB = 4$. От това следва веднага, че $AP = AM = 8$ и $NB = MB = 4$ по свойството на допирателните от една точка към окръжност. Остана едно полесно нещо: ще означим $C_1F = EC = y$ и $EF = x$. Тогава по свойството на допирателна и секуща от една точка имаме първо $C_1M^2 = C_1F.C_1C = y(2y + x)$, но също и $CN^2 = CE.CC_1 = y(2y + x)$. Тогава $CN = C_1M = 2$ и така имаме последния елемент от обиколката - $CN = CP = 2$. Сумарно $P = 2(2 + 4 + 8) = 28cm$