задача за 8 клас

[moni2003petrova]

Даден е [tex]\triangle[/tex]ABС с медиана CM и височина CH(H e между А и М). Ако ъгъл ACH : ъгъл HCM : ъгъл MCB = 1:4:1 и лицето на триъгълник ABC е 8 кв. см, намерете радиуса на описаната около триъгълника окръжност.

[ева]

Да не си пропуснала да напишеш нещо
Ако [tex]\angle[/tex]ACB=90[tex]^\circ[/tex] ,то зад.става много лесна и приятна и отг.е 4 см.
Реших я без да използвам окръжности.

[S.B.]

Да не си пропуснала да напишеш нещо
Ако [tex]\angle[/tex]ACB=90[tex]^\circ[/tex] ,то зад.става много лесна и приятна и отг.е 4 см.
Реших я без да използвам окръжности.

Според мен нищо не е пропуснала,а трябва да се докаже,че [tex]\angle ACB = 90^\circ[/tex].
Нека около [tex]\triangle ABC[/tex] е описана окръжност [tex]k[/tex] и [tex]CM[/tex] и [tex]CH[/tex] пресичат [tex]k[/tex] съответно в т.[tex]M_{1 }[/tex] и [tex]H_{1 }[/tex]
От условието ,че [tex]\angle ACH : \angle HCM : \angle MCB = 1 : 4 : 1 \Rightarrow \angle ACH = \angle MCB \Rightarrow[/tex] д.[tex]AH_{1 }[/tex] = д.[tex]BM_{1 }[/tex]
[tex]\angle AMC = \frac{д.AC + д.BM_{1 }}{2}[/tex] , [tex]\angle H_{1 }M_{1 }C = \frac{д.AC + д.AH_{1 }}{2}[/tex] и [tex]д.BM_{1 } = д.AH_{1 } \Rightarrow \angle H_{1 }M_{1 }C = \angle HMC[/tex]
[tex]\Rightarrow H_{1 }M_{1 }[/tex] II [tex]HM \Rightarrow \angle M_{1 }H_{1 }C = 90^\circ \Rightarrow CM_{1 }[/tex] е диаметър,който разполовява [tex]AB[/tex] без да са взаимно перпендикулярни ,[tex]\Rightarrow AB[/tex] също е диаметър и [tex]\angle ACB = 90^\circ[/tex];
(Може да се докаже и като се разгледат [tex]\triangle ACM \cong \triangle BMM_{1 }[/tex] от където [tex]MM_{1 } = CM[/tex] и т.н.)
[tex]\angle ACH : \angle HCM : \angle MCB = 1 : 4 : 1 \Rightarrow 6x= 90^\circ \Rightarrow x = 15^\circ \Rightarrow \angle ACH = 15^\circ , \angle HCM = 60^\circ , \angle MCB = 15^\circ[/tex];
От [tex]\triangle HCM[/tex]:[tex]\angle HCM = 60^\circ , \angle CMH = 30^\circ \Rightarrow CM = 2CH[/tex]
Ако [tex]CH = x,CM = 2x \Rightarrow AB = 4x[/tex] , [tex]S_{ABC } = \frac{AB.CH}{2}[/tex] или [tex]\frac{x.4x}{2} = 8 \Leftrightarrow 2x^{2} = 8[/tex] от където [tex]x = 2,R = CM = 4[/tex]