окръжности-8 клас

[Ivana_petkova]

зад.1. Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност k(О). Диагоналите му са перпендикулярни и CD=10 cm. Намерете разстоянието от точка O до страната AB.
зад.2. Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност k. Окръжност k1 с диаметър AB и окръжност k2 с диаметър ВС се пресичат втори път в точка Е. Ако k1 и k2 пресичат отново АD и CD в точки M и N, докажете,че трите точки M, N и Е лежат на една права.
зад.3. Хордата AB в окръжност к(О) е равна на радиуса. Точка C е произволна от малката дъга AB. Точките M и N са съответно среди на хордите AC и BC,а точките P и Q са съответно среди на AO и BO. Докажете,че PN [tex]\bot[/tex] MQ.

[DekataBG]

3)MP-средна отсечка в [tex]\triangle AOC \Rightarrow MP= \frac{CO}{2} и MP||CO[/tex]
NQ-средна отсечка в [tex]\triangle BOC \Rightarrow NQ= \frac{CO}{2} и NQ||CO[/tex]
[tex]\Rightarrow MP=NQ и MP||NQ \Rightarrow MPQN-успоредник[/tex]
QP-средна отсечка в [tex]\triangle AOB \Rightarrow QP= \frac{AB}{2} \Rightarrow AP=QP (AO=CO-радиуси) \Rightarrow MPQN-ромб \Rightarrow PN\bot MQ[/tex]

[ева]

Зад.1 се решава -като се сетиш да построиш два правоъгълни тр-ка и докажеш,че те са еднакви.
Тогава съответните им страните са равни. х=[tex]\frac{CD}{2}[/tex]=5 см.
Ако никой не ти помогне,ще я напиша на 18.09.в 04.часа-сутринта.

[ева]

Нека т.H,т.N са среди съответно на отс. AB,CD;AC пресича BD в т.М.
ОН=?
Означаваме вписания [tex]\angle[/tex]ADB=[tex]\alpha[/tex],тогава [tex]\angle[/tex]ВОН=[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\angle[/tex]АОВ=[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\widehat{AB}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex].2[tex]\alpha[/tex]=[tex]\alpha[/tex] т.е. [tex]\angle[/tex]ВОН=[tex]\alpha[/tex] (1)

[tex]\triangle[/tex]AMD е правоъгълен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]DAM=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\widehat{CD}[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\alpha[/tex] ,тогава централният [tex]\angle[/tex]COD=180[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\alpha[/tex]

[tex]\triangle[/tex]OCD-равнобедрен[tex]\Rightarrow[/tex] ON е медиана,височина и ъглополовяща т.е.[tex]\angle[/tex]CON=[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\angle[/tex]COD=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]; [tex]\triangle[/tex]ONC е правоъг.[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]OCN=[tex]\alpha[/tex] (2)
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]HBO и [tex]\triangle[/tex]OCN
1.OB=OC=R
2.[tex]\angle[/tex]BOH=[tex]\angle[/tex]OCN [ виж (1) и (2) ]
3.[tex]\angle[/tex]HBO=[tex]\angle[/tex]CON (90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]) по 2 признак двата тр-ка са еднакви

Щом [tex]\triangle[/tex]HBO[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]OCN [tex]\Rightarrow[/tex] Страните,които лежат с/у ъглите от 90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex] са равни т.е. OH=CN (т.N-среда на CD)
OH=[tex]\frac{CD}{2}[/tex]=[tex]\frac{10}{2}[/tex]=5 ;ОН[tex]\bot[/tex]АВ (Под разстояние имат предвид-най-късото,най-малкото разстояние,а ние го получихме като спуснахме перпендикуляр от т.О към АВ.)
OH=5 см.