Окръжността, вписана в триъгълника ABC лежи на окръжността k

[moni86086]

През точка A лежаща вън от окръжността k са прекарани допирателни AB и AC към k където B и C са допирните точки.Да се докаже че центърът на окръжността, вписана в триъгълника ABC лежи на окръжността k.

[martin123456]

тъй като [tex]AB=AC[/tex] като допирателни, то центърът на вписаната окръжност лежи на отсечката [tex]AH \bot BC[/tex], понеже [tex]AH[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle BAC[/tex]. да забележим че [tex]H \in AO[/tex], където [tex]O[/tex] е центъра на [tex]k[/tex]: това идва, понеже [tex]OA[/tex] също е ъглополовяща на [tex]\angle BAC[/tex]. Нека [tex]I=k \cap AO[/tex]. Достатъчно е да покажем, че [tex]BI[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle HBA[/tex] <=>[tex]\angle ABI=\angle IBC[/tex]. Но [tex]\angle ABI[/tex] е периферен => [tex]\angle ABI=\frac{\stackrel{\frown}{BI}}{2}[/tex], а [tex]\angle IBC[/tex] е вписан => [tex]\angle IBC=\frac{\stackrel{\frown}{CI}}{2}[/tex]. значи сега трябва да покажем че [tex]\stackrel{\frown}{CI}=\stackrel{\frown}{BI}[/tex]. Но това е така понеже [tex]\angle BOH=\angle COH[/tex] (следва [tex]OH \bot BC[/tex] и [tex]BO=OC=R[/tex]) (те са централни) и значи дъгите им са равни