хорда през пресечната точка на медианите

[limabo]

Здравейте, не можах да реша следната задача от домашната ми по математика. Ще се радвам, ако някой може да ми помогне, защото е спешно.

В окръжност е вписан триъгълник със страна 21 см. През пресечната точка на медианите, успоредно на тази страна, е построена хорда. Отсечките от хордата, вън от триъгълника, са 8 см и 11 см. Да се намерят другите две страни на триъгълника.

Благодаря ви предварително!

[Davids]

CircleTriangle.png (61.07 KiB) Прегледано 577 пъти

От свойството на медианата имаме, че $LM:BC = 2:3 \Rightarrow LM = 14$. По Талес обаче това отношение се пренася и върху частите от другите две страни:
$\frac{AL}{LC} = \frac{AM}{MB} = \frac{2}{1}$.
Остана да използваме свойството на две пресичащи се хорди в окръжност:
1) $AL.LC = KL.LN \Leftrightarrow \frac{2}{3}.AC.\frac{1}{3}.AC = 8.25 \Rightarrow AC = \sqrt{\frac{9}{2}.8.25} = \sqrt{9.4.25} = 30$
2) $AM.MB = KM.MN \Leftrightarrow \frac{2}{3}.AB.\frac{1}{3}.AB = 22.11 \Rightarrow AC = \sqrt{\frac{9}{2}.2.121} = \sqrt{9.121} = 33$

[limabo]

Много благодаря!