две окръжности

[Сийка]

Две окръжности k1 (O1,R) и k2 (O2,R) се пресичат съответно в точки A и B . Права p през точка B пресича k1 и k2 съответно в точки M1 и M2 .Ако ъгъл 01A02 = A , A е различно от 90 градуса ,то намерете ъглите AM1M2 и AM2M1 на колко са равни ?

[S.B.]

Без заглавие (5).png (338.51 KiB) Прегледано 941 пъти

Две окръжности k1 (O1,R) и k2 (O2,R) се пресичат съответно в точки A и B . Права p през точка B пресича k1 и k2 съответно в точки M1 и M2 .Ако ъгъл 01A02 = A , A е различно от 90 градуса ,то намерете ъглите AM1M2 и AM2M1 на колко са равни ?

Четириъгълникът $O_{1 }BO_{2 }A$ е ромб ( това сама ще докажеш) [tex]\angle O_{1 }AO_{2 } = \alpha \ne 90^\circ \Rightarrow \angle AO_{1 } B = 180^\circ - \alpha[/tex]
За $\triangle AO_{1 }B $ Прилагаш косинусова теорема: $AB = \sqrt{2R^{2}(1 - cos(180^\circ - \alpha)} = \sqrt{2R^{2}(1 \mp cos\alpha})$
Ако $\alpha < 90^\circ$ тогава $AB = \sqrt{4R^{2}sin^{2}\frac{\alpha}{2}} = 2Rsin\frac{\alpha}{2}$
Ако $\alpha > 90^\circ$ тогава $AB = 2Rcos\frac{\alpha}{2}$
За $\triangle ABM_{1 }$ прилагаш синусова теорема :$\frac{AB}{sin\beta} = 2R \Rightarrow sin\beta = \frac{2R}{AB}$
Аналогично за $\triangle ABM_{2 } \rightarrow sin\gamma = \frac{2R}{AB}$
Тъй ката за $\alpha$ знаеш само ,че $\alpha \ne 90^\circ$ заместваш с $AB$ и за двата случая.($\alpha<90 $ и $\alpha > 90$)

[Евва]

[tex]\angle[/tex]А[tex]М_{1 }[/tex][tex]М_{2 }[/tex]=[tex]\angle[/tex]А[tex]М_{1 }[/tex]В=[tex]\frac{\widehat{AB}}{2}[/tex]=[tex]\frac{180^\circ-\alpha}{2}[/tex]=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]

[Сийка]

Четириъгълникът
O1A02B Е ромб. защо е ромБ

[S.B.]

Четириъгълникът
O1A02B Е ромб. защо е ромБ

Веднага ти давам ЖОКЕРИ за да разбереш защо $O_{1 }AO_{2 }B$ е ромб

РОМБ - теореми ПРИЗНАЦИ:
_______________________
1)УСПОРЕДНИК с равни съседни страни е ромб.
2)УСПОРЕДНИК с взаимно перпендикулярни диагонали е ромб.
3)ЧЕТИРИЪГЪЛНИК с равни страни е ромб.

Тъй като в първите две теореми се споменава "успоредник" ето и теоремите - признаци за успоредник:
____________________________________________________________________________________________
Даден ЧЕТИРИЪГЪЛНИК е УСПОРЕДНИК,ако:

1)Двойките срещуположни страни са успоредни;
2)Двойките срещуположни страни са равни;
3)Една двойка срещуположни страни са успоредни и равни;
4)Диагоналите взаимно се разполовяват.
Сега разгледай много внимателно чертежа!