интересна задача за четириъгълник

[IVI]

В четириъгълника ABCD BD=AD и диагоналите се пресичат в точка Р. Около четириъгълника може да се опише окръжност, чийто център лежи на AC. Ако DP=24см и BP=6см, да се намерят OP и радиусът на окръжността.

[Евва]

OP=x=? R=?
Хордите AC и BD се пресичат в т.Р [tex]\Rightarrow[/tex] AP.CP=BP.DP ; (R+x)(R-x)=6.24 ; [tex]R^{2}[/tex]-[tex]x^{2}[/tex]=144 (1)

Дадено е,че [tex]\triangle[/tex]ABD е равнобедрен (с основа АВ) [tex]\Rightarrow[/tex] ъглополовящата DL на [tex]\triangle[/tex] ABD се явява и симетрала на отс.АВ .
Знаем,че т.О център на описаната окр.е пресечна т. на симетралите на страните на четириъгълника .
Тогава т.О лежи на ъглополовящата DL .
Оказа се,че DO е ъглополовяща на [tex]\triangle[/tex]APD [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AO}{PO}[/tex]=[tex]\frac{AD}{PD}[/tex] ; [tex]\frac{R}{x}[/tex]=[tex]\frac{30}{24}[/tex] ; x=[tex]\frac{4R}{5}[/tex] (2)

Реши системата от (1) и (2) ур-е , получих x=OP=16 см., R=20 см.