Правоъгълен триъгълник и две окръжности

[KOPMOPAH]

Правоъгълен триъгълник и две окръжности.png (13.81 KiB) Прегледано 727 пъти

Даден е правоъгълен триъгълник $\triangle ABC,\,\measuredangle B=90^\circ,\,AB=3,\,BC=4$. Точката $E \in BC$. Окръжност с център т.$E$ се допира до хипотенузата и до описаната окръжност съответно в точките $F$ и $G$.

Да се намери радиуса на тази окръжност.

[S.B.]

Без заглавие - 2020-03-06T225002.182.png (287.03 KiB) Прегледано 684 пъти

Правоъгълният $\triangle ABC$ има страни $AB = 3 ,BC = 4 ,AC = 5 \Rightarrow AO = OC = OG = R = 2,5$ ,
Окръжностите [tex]k[/tex] и $k_{1 }$ се допират вътрешно в т.$G$ ,централата им е $OE = OG - r \Leftrightarrow OE = R - r $
$\Rightarrow OE = 2,5 - r$
От $\triangle OEF$ по Питагор $OF = \sqrt{OE^{2} - r^{2}} \Rightarrow OF = \sqrt{6,25 - 5r} ,6,25 - 5r > 0 \Rightarrow r < 1,25$

$FC = OC - OF\Leftrightarrow FC = 2,5 - \sqrt{6,25 - 5r}$

$\triangle CFE \approx \triangle ABC \rightarrow \frac{FC}{BC} = \frac{FE}{AB} \Leftrightarrow \frac{2,5 - \sqrt{6,5 - 5r}}{4} = \frac{r}{3} \Leftrightarrow 7,5 - 3\sqrt{6,5 - 5r} = 4r$

$7,5 - 4r = 3\sqrt{6,5 - 5r} \Leftrightarrow 56,25 -60r + 16r^{2} = 56,25 - 45r \Leftrightarrow 16r^{2} - 15r = 0 \Leftrightarrow$

$ r(16r - 15 ) = 0 , r\ne 0 \Rightarrow 16r - 15 = 0 \Rightarrow r = \frac{15}{16} < 1,25$