Две външнодопиращи се окръжности

[Меди]

На две външнодопиращи се окръжности с радиуси $3$ $cm$ и $2$ $cm$ са построени общите външни допирателни, които се пресичат в т. $M$. Да се намери разстоянието от центъра на по-малката окръжност до т. $M$.

Скрит текст: покажи

Две външнодопиращи се окръжности.png (217.56 KiB) Прегледано 897 пъти

Знаем, че допирната точка на външнодопирателни окръжности принадлежи на централата им. Как доказваме, че общите външни допирателни и централата се пресичат в една точка? След това разглеждаме $\triangle BO_1M \sim \triangle AO_2M \Rightarrow \dfrac{O_2M}{O_1M}=\dfrac{AO_2}{BO_1}=\dfrac{2}{3}$. След малко преобразувания получаваме $O_2M=10$ $cm$.

[Меди]

Въпросът ми може да се обобщи и да се счита за основна задача за общи допирателни на две окръжности:

Нека две окръжности имат пресичащи се общи външни допирателни. Докажете, че пресечната точка на тези допирателни принадлежи на централата на окръжностите.

Скрит текст: покажи

Нека окръжностите са $k(O;r)$ и $k_1(O_1;r_1)$, а общите им външни допирателни $t$ и $t_1$ ги допират съответно в точките $A$ и $B$, и $A_1$ и $B_1$. Нека $t$ и $t_1$ се пресичат в точката $C$. Тъй като всеки от центровете $O$ и $O_1$ е равноотдалечен от допирателните $t$ и $t_1$, централата $OO_1$ е ъглополовяща на $\measuredangle ACA_1$, т.е. $C\in OO_1$.