Доказателствена задача

[TedyTod]

Две окръжности k1(O1;r1) и k2(O2;r2) имат две общи точки, едната от които е означена с A. Ако [tex]\angle[/tex]O1O2A>90[tex]^\circ[/tex], докажете че O2 е вътрешна точка за k1.

[Knowledge Greedy]

Две окръжности [tex]k_1(O_1;r_1)[/tex] и [tex]k_2(O_2;r_2)[/tex] имат точно две общи точки тогава и само тогава, когато [tex]O_1O_2<r_1+r_2[/tex]
Нека двете общи точки на [tex]k_1[/tex] и [tex]k_2[/tex] са [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex].
Ще докажем, че ако точките [tex]O_1[/tex] и [tex]O_2[/tex] са фиксирани, то съществува най-много още една точка [tex]O[/tex] такава, че
[tex]\triangle ABO_2 \cong \triangle ABO[/tex]

Доказателствена 1.png (6.09 KiB) Прегледано 637 пъти

Наистина, след като [tex]\triangle ABO_2[/tex] е равнобедрен, необходимо е [tex]O\in s_{AB}[/tex] - симетралата на [tex]AB[/tex].
От еднаквостта следва, че [tex]BO=BO_2=AO_2=AO[/tex]
и ако означим с [tex]D[/tex] пресечната точка на [tex]AB[/tex] със симетралата [tex]s_{AB}[/tex] (респективно правата [tex]O_1O_2[/tex]), положението на точката [tex]O[/tex]
се определя еднозначно от положението на точката [tex]D[/tex] - тъй като двете съответни височини към общата основа [tex]AB[/tex] -
на еднаквите триъгълници [tex]\triangle ABO_2[/tex] и [tex]\triangle ABO[/tex] са равни:
[tex]O_2D=OD[/tex].

Доказателствена.png (7.06 KiB) Прегледано 637 пъти

Сега остава да отбележим, че средата [tex]D[/tex] на хордата [tex]AB[/tex] е вътрешна за всяка от окръжностите [tex]k_1[/tex] и [tex]k_2[/tex] (с изкл. на краищата ѝ)
А по отношение на отсечката [tex]O_1D[/tex] - изцяло вътрешна за [tex]k_1[/tex] или [tex]O \in O_1D[/tex] или [tex]O_2 \in O_1D[/tex].
За една от двете точки се оказва, че съответният ъгъл [tex]\angle О_1OA[/tex] или [tex]\angle О_1O_2A[/tex] е тъп - тъй като сборът им е [tex]180^\circ[/tex] ,
което доказва, че тази точка (в случая) [tex]O_2[/tex] лежи на изцяло вътрешна отсечка, следователно е вътрешна за [tex]k_1.[/tex]