Две окръжности се пресичат в т.А и т.В

[KOPMOPAH]

Две пресичащи се окръжности.png (16.75 KiB) Прегледано 1602 пъти

Две окръжности $k_1(O_1,R_1)$ и $k_2(O_2,R_2)$ се пресичат в точките $A$ и $B$. През $O_1$, $A$ и $O_2$ е прекарана окръжност, която пресича $k_1$ в т.$E$, $k_2$ в т.$D$ и правата $AB$ в т.$C$.
Да се докаже, че $$CB=CD=CE$$

[Гост]

Скрит текст: покажи

Отсечките [tex]O_2A[/tex] са [tex]O_2D[/tex] равни като радиуси в окръжност [tex]k_2[/tex]. На равни хорди в окръжност [tex]k[/tex] отговарят равни дъги. Следователно [tex]\angle{ACO_2}=\angle{DCO_2}[/tex]. Следователно [tex]CO_2[/tex] се явява ъглополовяща на [tex]\angle{ACD}[/tex]. [tex]CB[/tex] и [tex]CD[/tex] са симетрични относно [tex]CO_2[/tex]. От това следва, че те са равни. Аналогично се доказва, че [tex]CB=CE[/tex].

[tex]k[/tex] е окръжността, описана около [tex]O_1O_2A[/tex].

Задачата е давана в тема за 9-ти клас на Всерусийска математическа олимпиада през 1994-1995 г. Написаното от мен е близко до официалното решение. Вероятно има още начини да се реши поставената задача.

[S.B.]

Без заглавие - 2020-04-07T174408.923.png (377.35 KiB) Прегледано 1462 пъти

Прикачения файл Две пресичащи се окръжности.png вече е недостъпен

Две окръжности $k_1(O_1,R_1)$ и $k_2(O_2,R_2)$ се пресичат в точките $A$ и $B$. През $O_1$, $A$ и $O_2$ е прекарана окръжност, която пресича $k_1$ в т.$E$, $k_2$ в т.$D$ и правата $AB$ в т.$C$.
Да се докаже, че $$CB=CD=CE$$

[tex]AO_{2 } = DO_{2 } = R_{2 } \Rightarrow \overset{\displaystyle\frown}{AO_{2 }}= \overset{\displaystyle\frown}{DO_{2 }} \Rightarrow \angle ACO_{2 } = \angle DCO_{2 } \Rightarrow CO_{2 }[/tex] е ъглополовяща на $\angle ACD$
Продължавам рамото $CD$ до т. $М \in k_{2 }$
Построявам $O_{2 }P \bot CA$ и $O_{2 }Q \bot CM$
$CO_{2 }$ е ъглополовяща $\Rightarrow O_{2 }P = O_{2 }Q$
$\triangle CPO_{2 } \cong \triangle CQO_{2 }$ по катет и хипотенуза $\Rightarrow CP = CQ $ ( 1 )
$\triangle PBO_{2 } \cong \triangle QDO_{2 }$ (по катет и хиподенуза)
$1) BO_{2 } = DO_{2 } = R_{2 }$
$2) PO_{2 } = QO_{2 }$
$\Rightarrow PB = QD$ ( 2 )
От $CP = CB + BP$ и $CQ = CD + DQ$ и като се вземе предвид и резултатите ( 1 ) и ( 2 )
следва, че $CD = CB$
Аналогично от $AO_{1 } = EO_{1 } = R_{1 } \rightarrow CO_{1 }$ е ъглополовяща на $\angle ACE$ и аналогично се доказва,че $CE = CB$
Тогава от $\begin{cases} CD = CB \\ CE = CB \end{cases} \Rightarrow CD = CB = CE$

[KOPMOPAH]

Чудесно решение!

[Меди]

Отсечките [tex]O_2A[/tex] са [tex]O_2D[/tex] равни като радиуси в окръжност [tex]k_2[/tex]. На равни хорди в окръжност [tex]k[/tex] отговарят равни дъги. Следователно [tex]\angle{ACO_2}=\angle{DCO_2}[/tex]. Следователно [tex]CO_2[/tex] се явява ъглополовяща на [tex]\angle{ACD}[/tex]. [tex]CB[/tex] и [tex]CD[/tex] са симетрични относно [tex]CO_2[/tex]. От това следва, че те са равни. Аналогично се доказва, че [tex]CB=CE[/tex].

[tex]k[/tex] е окръжността, описана около [tex]O_1O_2A[/tex].

Задачата е давана в тема за 9-ти клас на Всерусийска математическа олимпиада през 1994-1995 г. Написаното от мен е близко до официалното решение. Вероятно има още начини да се реши поставената задача.

Здравейте!

Може ли да Ви попитам как доказваме, че точките $B$ и $D$ са симетрични относно правата $CO_1$? Не разбирам как това следва от $CO_1-$ ъглополовяща на $\angle ACD$.

[KOPMOPAH]

Здравейте!

Може ли да Ви попитам как доказваме, че точките $B$ и $D$ са симетрични относно правата $CO_1$? Не разбирам как това следва от $CO_1-$ ъглополовяща на $\angle ACD$.

Съвсем уместен въпрос!

[S.B.]

Здравейте!

Може ли да Ви попитам как доказваме, че точките $B$ и $D$ са симетрични относно правата $CO_1$? Не разбирам как това следва от $CO_1-$ ъглополовяща на $\angle ACD$.

Тъй като ГОСТ не Ви отговори,ще Ви отговоря аз.
1) [tex]CO_{1 }[/tex] не е ъглополовяща на $\angle ACD$ ,а на $\angle ACE$ . Ъглополовящата на ъгъл $ACD $ е $CO_{2 }$
2) Ъглополовящата на всеки ъгъл се явява и ос на симетрия,при която едното рамо на ъгъла се изобразява в другото рамо - т.е. ВСЯКА точка от едното рамо е първообраз на ТОЧНО ОПРЕДЕЛЕНА точка от другото рамо,като двете точки се наричат СЪОТВЕТНИ.В случая раменете $CB$ и $CD$ са симетрични отностно ъглополовящата $CO_{2 }$ но няма никаква гаранция че точките $B$ и $D$ са СЪОТВЕТНИ при тази симетрия.Би могло да се докаже по някакъв начин,че двете точки са СЪОТВЕТНИ ,но аз използвах нещо друго ,за да докажа,че $CD = CB$.В основата на моето доказателство е залегнало НДУ една точка да принадлежи на ъглополовящата на даден ъгъл,което се изучава в 7 клас.Въобще задачата се решава само със знания от 7 и 8 клас.

[Меди]

Здравейте!

Може ли да Ви попитам как доказваме, че точките $B$ и $D$ са симетрични относно правата $CO_1$? Не разбирам как това следва от $CO_1-$ ъглополовяща на $\angle ACD$.

Тъй като ГОСТ не Ви отговори,ще Ви отговоря аз.
1) [tex]CO_{1 }[/tex] не е ъглополовяща на $\angle ACD$ ,а на $\angle ACE$ . Ъглополовящата на ъгъл $ACD $ е $CO_{2 }$
2) Ъглополовящата на всеки ъгъл се явява и ос на симетрия,при която едното рамо на ъгъла се изобразява в другото рамо - т.е. ВСЯКА точка от едното рамо е първообраз на ТОЧНО ОПРЕДЕЛЕНА точка от другото рамо,като двете точки се наричат СЪОТВЕТНИ.В случая раменете $CB$ и $CD$ са симетрични отностно ъглополовящата $CO_{2 }$ но няма никаква гаранция че точките $B$ и $D$ са СЪОТВЕТНИ при тази симетрия.Би могло да се докаже по някакъв начин,че двете точки са СЪОТВЕТНИ ,но аз използвах нещо друго ,за да докажа,че $CD = CB$.В основата на моето доказателство е залегнало НДУ една точка да принадлежи на ъглополовящата на даден ъгъл,което се изучава в 7 клас.Въобще задачата се решава само със знания от 7 и 8 клас.

Благодаря ви за отговора! Разменил съм точките $D$ и $E$ на чертежа си. Намерих авторското решение на задачата, но е на руски и наистина не го разбирам напълно. Използва идеята на ГОСТ. Може би симетричните рамене на ъглите пресичат една и съща фигура в същата равнина, от което да следва, че пресечните точки са образ и първообраз.

Скрит текст: покажи

Отрезки $AO_1$ и $O_1D$ равны как радиусы окружности $S_1$. Поэтому равны стягиваемые хордами $AO_1$ и $O_1D$ дуги $AO_1$ и $O_1D$ окружности, проходящей через точки $O_1, O_2$ и $A$. Значит, углы $ACO_1$ и $DCO_1$ равны как вписанные, опирающиеся на равные дуги. Следовательно, лучи $CA$ и $CD$, как и окружность $S_1$, симметричны относительно прямой $CO_1$. Поэтому точки $B$ и $D$ (ближайшие к $C$ точки пересечениялучей $CA$ и $CD$ с окружностью $S_1$) также симметричны относительно $CO_1$, т.е. $CB = CD$. Аналогично, $CE = CB$.

Screenshot_45.png (14.48 KiB) Прегледано 1363 пъти

[S.B.]

Благодаря ви за отговора! Разменил съм точките $D$ и $E$ на чертежа си. Намерих авторското решение на задачата, но е на руски и наистина не го разбирам напълно. Използва идеята на ГОСТ. Може би симетричните рамене на ъглите пресичат една и съща фигура в същата равнина, от което да следва, че пресечните точки са образ и първообраз.

Скрит текст: покажи

Отрезки $AO_1$ и $O_1D$ равны как радиусы окружности $S_1$. Поэтому равны стягиваемые хордами $AO_1$ и $O_1D$ дуги $AO_1$ и $O_1D$ окружности, проходящей через точки $O_1, O_2$ и $A$. Значит, углы $ACO_1$ и $DCO_1$ равны как вписанные, опирающиеся на равные дуги. Следовательно, лучи $CA$ и $CD$, как и окружность $S_1$, симметричны относительно прямой $CO_1$. Поэтому точки $B$ и $D$ (ближайшие к $C$ точки пересечениялучей $CA$ и $CD$ с окружностью $S_1$) также симметричны относительно $CO_1$, т.е. $CB = CD$. Аналогично, $CE = CB$.

Screenshot_45.png

Мсля,че НЕ авторът на решението на задачата използва идеята на ГОСТ,а ГОСТ лансира неговата идея.
Вече ти писах,че не е невъзможно да се докаже,че двете точки са съответни при симетрия.Но какво и как го доказват не мога да схвана.Може би колегата KOPMOPAH ще разгадае ,тъй като той владее добре руски език.
Моето решение е друго - то си е мое! Аз нямам навика да търся готови решения в чуждоезични сайтове:D

[KOPMOPAH]

Благодаря ви за отговора! Разменил съм точките $D$ и $E$ на чертежа си. Намерих авторското решение на задачата, но е на руски и наистина не го разбирам напълно. Използва идеята на ГОСТ. Може би симетричните рамене на ъглите пресичат една и съща фигура в същата равнина, от което да следва, че пресечните точки са образ и първообраз.

Скрит текст: покажи

Отрезки $AO_1$ и $O_1D$ равны как радиусы окружности $S_1$. Поэтому равны стягиваемые хордами $AO_1$ и $O_1D$ дуги $AO_1$ и $O_1D$ окружности, проходящей через точки $O_1, O_2$ и $A$. Значит, углы $ACO_1$ и $DCO_1$ равны как вписанные, опирающиеся на равные дуги. Следовательно, лучи $CA$ и $CD$, как и окружность $S_1$, симметричны относительно прямой $CO_1$. Поэтому точки $B$ и $D$ (ближайшие к $C$ точки пересечениялучей $CA$ и $CD$ с окружностью $S_1$) также симметричны относительно $CO_1$, т.е. $CB = CD$. Аналогично, $CE = CB$.

Screenshot_45.png

Поласкан от оценката за моето владеене на руски език, няма как да не преведа отговора.

Отсечките $AO_1$ и $O_1D$ са равни като радиуси на окръжността $S_1$. Затова са равни и съответстващите на хордите $AO_1$ и $O_1D$ дъги $AO_1$ и $O_1D$ от окръжността, минаваща през точките $O_1, O_2$ и $A$. Значи, ъглите $ACO_1$ и $DCO_1$ са равни като вписани, опиращи се на равни дъги. Следователно, лъчите $CA$ и $CD$, както и окръжността $S_1$ са симетрични относително правата $CO_1$. Поради това (според мен не много убедително - бел. моя.) $B$ и $D$ (като най-близки до $C$ точки на пресичане на лъчите $CA$ и $CD$ с окръжността $S_1$) също са симетрични относително $CO_1$, т.е. $CB = CD$. Аналогично, $CE = CB$.

[Гост]

Сигурно авторът на задачата е използвал очевидна за него лема - ако имаме лъч l през центъра на окръжност, който се явява ъглополовяща на ъгълът между 2 лъча с общо начало, лежащо на l - то другите 2 лъча, както и полуокръжностите на които разделя окръжността са симетрични относно l.

[Гост]

Има и друг интересен момент: https://bg.khanacademy.org/math/geometr ... nce-review
Ако човек не внимава - би могъл да се подведе и да се опита да използва 5-ти признак за еднаквости от предложения линк.

[Гост]

А, ако внимава повече - може да види (рис. 54), че ако имаме отсечка, да кажем [tex]O_1C[/tex] с дължина [tex]d[/tex], остър ъгъл [tex]O_1CA[/tex] (защо е остър ъгълът?), окръжност с център в [tex]O_1[/tex] с радиус по-малък от [tex]d[/tex] (защо радиусът е по-малък от d?), то [tex]O_1[/tex], [tex]C[/tex] и пресечната точка на окръжността с определят 2 възможни триъгълника. Ако единият не е еднакъв на [tex]CDO_1[/tex], то другият ще бъде. Очевидно [tex]O_1CA[/tex] няма как да е еднакъв с [tex]CDO_1[/tex]. (Ако беше еднакъв - то окръжностите щяха да имат само една обща точка) Следователно [tex]CDO_1[/tex] и [tex]CBO_1[/tex] са еднакви. От тази еднаквост [tex]CB=CD[/tex] (като съответни страни).

Представената идея не е очевидна, но използва идея, близка то тази, използвана за извеждането на 5-ти признак за еднаквост за еднаквост на триъгълници, показана на линка на khanacademy и какво се получава, ако го нямаше изискването за съответните ъгли да са срещу най-голямата страна.

[Гост]

* пресечната точка на окръжността с правата, определена от [tex]CA[/tex] определят 2 възможни триъгълника.