Вписани окръжности

[Евва]

Даден е правоъгълен [tex]\triangle[/tex]АВС с височина CD към хипотенузата .Радиусите на окръжностите ,
вписани в триъгълниците ABC ,ADC ,BDC са съответно r ,[tex]r_{1 }[/tex] ,[tex]r_{2 }[/tex] .

Да се докаже,че [tex]r_{1 }^{2}[/tex]+[tex]r_{2 }^{2}[/tex]=[tex]r^{2}[/tex] .

(Тази задача много ми прилича на зад.от "Състезания 9-12 кл." пусната на 04.април.2 012 г.)

[KOPMOPAH]

Двата по-малки триъгълника - $ADC$ и $BDC$ са подобни на $ABC$ с коефициенти на подобие съответно $\frac bc$ и $\frac ac$. Всичките им линейни елементи също се подчиняват на тези коефициенти, в частност - радиусите на вписаните им окръжности. $$r_1=\frac bc.r~~~~~(1)$$ $$r_2=\frac ac.r~~~~~(2)$$
Повдигайки равенствата $(1)$ и $(2)$ на квадрат и събирайки почленно, получаваме:$$r_1^2+r_2^2=\frac {b^2}{c^2}.r^2+\frac {a^2}{c^2}.r^2=\frac {a^2+b^2}{c^2}.r^2=r^2$$

[Евва]

Интересното е,че задачата е от група'' В'' .

[S.B.]

Без заглавие (14).png (282.53 KiB) Прегледано 1110 пъти

Даден е правоъгълен [tex]\triangle[/tex]АВС с височина CD към хипотенузата .Радиусите на окръжностите ,
вписани в триъгълниците ABC ,ADC ,BDC са съответно r ,[tex]r_{1 }[/tex] ,[tex]r_{2 }[/tex] .

Да се докаже,че [tex]r_{1 }^{2}[/tex]+[tex]r_{2 }^{2}[/tex]=[tex]r^{2}[/tex] .

(Тази задача много ми прилича на зад.от "Състезания 9-12 кл." пусната на 04.април.2 012 г.)

Неволно съм заменила в чертежа буква $D$ с буква $H$,моля за извинение, Евва!

Нека [tex]AB = c , AC = b , BC = a , CH\bot AB ,CH = h , AH = b_{1 } , BH = a_{1 } , \angle CAB = \angle HCB = \alpha[/tex]
От $\triangle ABC \rightarrow \frac{AC}{AB} = cos\alpha \Leftrightarrow b = c.cos\alpha ; \frac{BC}{AB} = sin\alpha \Leftrightarrow a = c.sin\alpha$

От$\triangle AHC \rightarrow \frac{CH}{AC} = sin\alpha \Leftrightarrow h = b.sin\alpha \Rightarrow h = c.cos\alpha.sin\alpha ; \frac{AH}{AC} = cos\alpha \Leftrightarrow b_{1 } = bcos\alpha \Rightarrow b_{1 } = c.cos^{2}\alpha$

От $\triangle BHC \rightarrow \frac{BH}{BC} = sin\alpha \Leftrightarrow a_{1 } = a.sin\alpha \Rightarrow a_{1 } = c.sin^{2}\alpha$
$\begin{cases} P_{AHC } = b+b_{1 }+h \\ P_{AHC }= 2b + 2r_{1 } \end{cases} \Rightarrow b+ b_{1 } + h = 2b+ 2r_{1 } \Leftrightarrow$
$2r_{1 } = b_{1 } + h - b \Leftrightarrow 2r_{1 } = c.cos^{2}\alpha + c.sin\alpha.cos\alpha - c.cos\alpha \Rightarrow$
$ r_{1 } = \frac{c}{2}.cos\alpha(cos\alpha + sin\alpha - 1)$
$\begin{cases} P_{BHC } = a + a_{1 } + h\\ P_{BHC } = 2a + 2r_{2 }\end{cases} \Rightarrow a + a_{1 } + h = 2a + 2r_{2 } \Leftrightarrow$
$2r_{2 } = a_{1 } + h - a \Leftrightarrow 2r_{2 } = c.sin^{2}\alpha + c.sin\alpha.cos\alpha - c.sin\alpha \Rightarrow$
$r_{2 } = \frac{c}{2}.sin\alpha(sin\alpha + cos\alpha - 1)$
$\begin{cases} P_{ABC } = a + b + c \\ P_{ABC } = 2r + 2c \end{cases} \Rightarrow a + b + c = 2r + 2c \Leftrightarrow 2r = a + b - c \Rightarrow$
$2r = c.sin\alpha + c.cos\alpha - c \Leftrightarrow r = \frac{c}{2}(sin\alpha + cos\alpha - 1) $
$\alpha \in(0 ; \frac{\pi}{2}) \Rightarrow (\alpha + cos\alpha - 1) = k\ne0 $
Тогава:
$r_{1 } = \frac{c.k}{2}.cos\alpha \Rightarrow r_{1 }^{2} = \frac{c^{2}k^{2}}{4}.cos^{2}\alpha$
$ r_{2 } = \frac{c.k}{2}.sin\alpha \Rightarrow r_{2 }^{2} = \frac{c^{2}.k^{2}}{4}.sin^{2}\alpha$
$r = \frac{c.k}{2} \Rightarrow r^{2} = \frac{c^{2}.k^{2}}{4}$
$r_{1 }^{2} + r_{2 }^{2} = \frac{c^{2}k^{2}}{4}(sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha) = \frac{c^{2}k^{2}}{4} = r^{2} \Rightarrow$
$$r_{1 }^{2} + r_{2 }^{2} = r^{2}$$

[S.B.]

Двата по-малки триъгълника - $ADC$ и $BDC$ са подобни на $ABC$ с коефициенти на подобие съответно $\frac bc$ и $\frac ac$. Всичките им линейни елементи също се подчиняват на тези коефициенти, в частност - радиусите на вписаните им окръжности. $$r_1=\frac bc.r~~~~~(1)$$ $$r_2=\frac ac.r~~~~~(2)$$
Повдигайки равенствата $(1)$ и $(2)$ на квадрат и събирайки почленно, получаваме:$$r_1^2+r_2^2=\frac {b^2}{c^2}.r^2+\frac {a^2}{c^2}.r^2=\frac {a^2+b^2}{c^2}.r^2=r^2$$

Абе, УМНОТО си е УМНО! А аз колко писане му ударих за да получа същото!!!