Две окръжности

[Гост]

Две окръжности с радиуси 1 и 4 се допират външно. Прекарани са двете им външни допирателни l1 и l2. Вътрешната им допирателна пресича l1 и l2 в точките М и N. На колко е равна дължината на отсечката MN?

[S.B.]

Две окръжности с радиуси 1 и 4 се допират външно. Прекарани са двете им външни допирателни l1 и l2. Вътрешната им допирателна пресича l1 и l2 в точките М и N. На колко е равна дължината на отсечката MN?

Без заглавие - 2021-04-18T211400.728.png (291.96 KiB) Прегледано 675 пъти

[tex]\triangle M T_{1 } O_{1 } \cong \triangle MP O_{1 }[/tex] - правоъгълни,[tex]M O_{1 }[/tex] обща,[tex]M T_{1 } = MP[/tex] ,като допирателни от външна точка $M$ към окръжността
[tex]\Rightarrow \angle T_{1 } O_{1 }M = \angle P O_{1 }M = \alpha , \angle T_{1 } M O_{1 } = \angle PM O_{1 } = 90 ^\circ - \alpha[/tex]
Аналогично се доказва,че [tex]\triangle M T_{2 } O_{2 } \cong \triangle MP O_{2 }[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle M O_{2 }P = \angle M O_{2 } T_{2 } = \beta \Rightarrow \angle T_{2 }M O_{2 } = \angle PM O_{2 } = 90 ^\circ - \beta[/tex]
[tex]\angle T_{1 }M O_{1 } + \angle O_{1 }M O_{2 } + T_{2 }M O_{2 } = 180 ^\circ \Leftrightarrow 90 ^\circ - \alpha + \angle O_{1 }M O_{2 } + 90 ^\circ - \beta = 180 ^\circ \Rightarrow \angle O_{1 }M O_{2 } = \alpha + \beta[/tex]
За $\triangle О_{1 }М О_{2 } \rightarrow $
[tex]\angle М О_{1 } О_{2 } + \angle М О_{2 } О_{1 } + \angle О_{1 }М О_{2 } = 180 ^\circ \Leftrightarrow \alpha + ( \alpha + \beta) + \beta = 180 ^\circ \Leftrightarrow 2 \alpha + 2 \beta = 180 ^\circ \Rightarrow \alpha + \beta = 90 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle О_{1 }М О_{2 } = 90 ^\circ \Rightarrow \triangle О_{1 }М О_{2 }[/tex] е правоъгълен
[tex]MP \bot O_{1 } O_{2 } \Rightarrow MP^{2} = O_{1 }P. O_{2 }P \Leftrightarrow MP^{2}= 1.4 \Rightarrow MP = 2[/tex]
[tex]\triangle LMP \cong \triangle LNP[/tex]
1)[tex]\angle LPM = \angle LPN = 90 ^\circ[/tex]
2)[tex]\angle MLP = \angle NLP[/tex] защото $LP$ е ъглополовяща
3)$LP$ е обща
[tex]\Rightarrow PN = PM = 2[/tex]
$$\Rightarrow MN = 4$$