Две окръжности

[Гост]

Здравейте, може ли някой да помогне за следната задача:
Дадени са две окръжности к(О,8см) и k1(O1, 5см), а ОO1 = 18см. Централата OO1 пресича к и k1 съответно в точките M и N. Правата p е обща външна допирателна и се допира до к и k1 съответно в точките P и Q. През точките M и N са построени правите m и n, перпендикулярни на p. Намерете в какво отношение тези прави разделят отдечката PQ.

[ammornil]

Здравейте, може ли някой да помогне за следната задача:
Дадени са две окръжности к(О,8см) и k1(O1, 5см), а ОO1 = 18см. Централата OO1 пресича к и k1 съответно в точките M и N. Правата p е обща външна допирателна и се допира до к и k1 съответно в точките P и Q. През точките M и N са построени правите m и n, перпендикулярни на p. Намерете в какво отношение тези прави разделят отдечката PQ.

Моят метод вероятно е малко архаичен и допускам че има по-просто решение, но ето все пак моето предложение...

Нека [tex]MK \bot p[/tex] и [tex]NL \bot p[/tex].

От [tex]\begin{cases} P \in p \\Q \in p \\ PQ-допирателна \end{cases} \Rightarrow \begin{array}{l} OP \bot p \\ O_{1}Q \bot p \end{array} \Rightarrow OP \| MK \| NL \| O_{1}Q[/tex]
Освен това знаем, че: [tex]OP=8 cm, O_{1}Q=5 cm, OM=8 cm, O_{1}N=5cm, OO_{1}=18cm \Rightarrow MN=OO_{1}-(OM+NO_{1})=5 cm[/tex]

Нека правата [tex]p[/tex] пресича продължението на централата [tex]OO_{1}[/tex] в точка [tex]F[/tex]. Нека [tex]FO_{1}=x[/tex] и [tex]FQ=y[/tex].

Раменете на [tex]\angle PMO[/tex] са пресечени с 4 успоредни прави, перпендикулярни на [tex]FP[/tex]. От теорема на Талес за [tex][/tex] можем да запишем, че: [tex]\frac{FO_{1}}{FO}=\frac{O_{1}Q}{OP}[/tex]
След заместване получаваме: [tex]\frac{x}{x+18}=\frac{5}{8} \Leftrightarrow 8x=5x+90 \Leftrightarrow 3x=90 \Leftrightarrow x=30 cm[/tex]


Ако сте учили тригонометрични функции, то задачата се решава много по-лесно като се определят синус на [tex]\angle O_{1}FQ \rightarrow \sin{\angle O_{1}FQ}=\frac{O_{1}Q}{O_{1}F}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}[/tex], a оттам и косинус на [tex]\angle O_{1}FQ \rightarrow \cos{\angle O_{1}FQ}=\sqrt{1-\sin^{2}\angle O_{1}FQ}=\frac{\sqrt{35}}{6}[/tex]
Като знаем това и че триъгълници [tex]\triangle O_{1}FQ, \triangle NFL, \triangle MFK, \triangle OFP[/tex] са правоъгълни по построение:
[tex]FQ=x.\cos{\angle O_{1}FQ}=5\sqrt{35} cm[/tex], [tex]FL=(x+5).\cos{\angle O_{1}FQ}=\frac{35\sqrt{35}}{6}cm[/tex], [tex]FK=(x+10).\cos{\angle O_{1}FQ}=\frac{20\sqrt{35}}{3}cm[/tex], [tex]FP=(x+18).\cos{\angle O_{1}FQ}=8\sqrt{35}cm[/tex]

Тогава: [tex]QL=FL-FQ=\frac{35\sqrt{35}}{6}-\frac{30\sqrt{35}}{6}=\frac{5\sqrt{35}}{6}cm[/tex], [tex]LK=FK-FL=\frac{40\sqrt{35}}{6}-\frac{35\sqrt{35}}{6}=\frac{5\sqrt{35}}{6}cm[/tex], [tex]KP=FP-FK=\frac{48\sqrt{35}}{6}-\frac{40\sqrt{35}}{6}=\frac{8\sqrt{35}}{6}cm[/tex]. Не опростявам, за да мога да съкратя на общ множител пропорцията на тези отсечки.

[tex]PK:KL:LQ=\frac{8\sqrt{35}}{6}:\frac{5\sqrt{35}}{6}:\frac{5\sqrt{35}}{6} \Leftrightarrow PK:KL:LQ=8:5:5[/tex].


Ако не сте учили тригонометрия:
Триъгълници [tex]\triangle O_{1}FQ, \triangle NFL, \triangle MFK, \triangle OFP[/tex] са правоъгълни по построение.
[tex]\triangle O_{1}QF \rightarrow 5^{2}+y^{2}=30^{2} \Rightarrow y^{2}=900-25=875=5^{3}.7 \Rightarrow y=5\sqrt{35} cm[/tex]
По теорема на Талес от чертежа можем да запишем следните равенства:
[tex]\frac{y+t_{1}}{x+5}=\frac{y}{x} \Rightarrow \frac{5\sqrt{35}+t_{1}}{35}=\frac{5\sqrt{35}}{30} \Leftrightarrow 6(5\sqrt{35}+t_{1})=7(5\sqrt{35}) \Leftrightarrow 6t_{1}=5\sqrt{35} \Leftrightarrow t_{1}=\frac{5\sqrt{35}}{6}cm[/tex]

[tex]\frac{y+t_{1}+t_{2}}{x+10}=\frac{y}{x} \Rightarrow \frac{5\sqrt{35}+\frac{5\sqrt{35}}{6}+t_{2}}{40}=\frac{5\sqrt{35}}{30} \Leftrightarrow \frac{35\sqrt{35}+6t_{2}}{6.40}=\frac{\sqrt{35}}{6} \Leftrightarrow 35\sqrt{35}+6t_{2}=40\sqrt{35} \Leftrightarrow 6t_{2}=5\sqrt{35} \Leftrightarrow t_{2}=\frac{5\sqrt{35}}{6}cm[/tex]

[tex]\frac{y+t_{1}+t_{2}+t_{3}}{x+18}=\frac{y}{x} \Rightarrow \frac{5\sqrt{35}+2.\frac{5\sqrt{35}}{6}+t_{3}}{48}=\frac{5\sqrt{35}}{30} \Leftrightarrow \frac{40\sqrt{35}+6t_{3}}{6.48}=\frac{\sqrt{35}}{6} \Leftrightarrow 40\sqrt{35}+6t_{3}=48\sqrt{35} \Leftrightarrow 6t_{3}=8\sqrt{35} \Leftrightarrow t_{3}=\frac{8\sqrt{35}}{6}cm[/tex]

[tex]PK:KL:LQ=\frac{8\sqrt{35}}{6}:\frac{5\sqrt{35}}{6}:\frac{5\sqrt{35}}{6} \Leftrightarrow PK:KL:LQ=8:5:5[/tex].

[tex][/tex]

[nelson88]

Много благодаря!