Може ли да се докаже

[Евва]

Може ли да се докаже ,че за всеки произволен триъгълник е в сила неравенството R[tex]\ge[/tex]2r ?

[pal702004]

Това следва от теоремата на Ойлер за разстоянието м/у центровете на вписаната и описаната окръжност на произволен триъгълник

$d^2=R(R-2r)$

значи може

В нета има доказателства, включително неговото.

[pal702004]

Всъщност това е по-слабо твърдение, така че можем да го докажем и ние. Всъщност трябва да се докаже, че

$abc(a+b+c) \ge 16S^2$

и понеже от Хероновата теорема $16S^2=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$ стигаме до

$abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$.

Да положим $a+b-c=x,b+c-a=y,c+a-b=z$ Получаваме

$(x+y)(y+z)(z+x) \ge 8xyz$, което е вярно, понеже

$x+y \ge 2 \sqrt{xy}$
$y+z \ge 2 \sqrt{yz}$
$z+x \ge 2 \sqrt{zx}$