Окръжност и триъгълник

[Гост]

Моля за помощ!

Точката О е център на вписаната в триъгълника ABC окръжност ако AB =12 см и ъгъл ACB= 120°, намерете дължината на радиуса на описаната около триъгълник AOB окръжност

[mail_dinko]

Стандартен чертеж - радиусът на вписаната окръжност (точка О) е пресечна точка на ъглополовящите - построяваме ъглополовящите на ъглите А и В.
Означаваме [tex]\angle CAB = \alpha \Rightarrow \angle CAO = \angle OAB = \frac {\alpha}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle ABC = 180^\circ - \alpha - 120^\circ = 60^\circ - \alpha \Rightarrow \angle ABO = \angle OBC = 30^\circ - \frac {\alpha}{2}[/tex]
[tex]\angle AOB= 180^\circ \cancel {- \frac {\alpha}{2} } - 30^\circ \cancel {+ \frac {\alpha}{2}}= 150^\circ[/tex]
[tex]2R = \frac {AB}{sin 150^\circ}= \frac {AB}{sin (180^\circ - 30 ^\circ)}= \frac {AB}{sin 30 ^\circ}= \frac {12}{\frac 12}=24[/tex]
[tex]R=12[/tex]