Трудна задача за четириъгълник

[Гост]

МОЛЯ ПОМОГНЕТЕ!!!
В четириъгълника ABCD е вписана окръжност, която се допира до страните, AB, BC, CD, DA съответно в точките M, N, P, Q. Ако около четириъгълника може да се впише окръжност, да се докаже че MP е перпендикулярна на NQ

[ptj]

Елементарно Уотсън!
Направи си чертеж само с вписаната окръжност.
Означи в нея: [tex]\stackrel\frown{NP}=x[/tex], [tex]\stackrel\frown{PQ}=y[/tex],[tex]\stackrel\frown{QM}=z[/tex], [tex]\stackrel\frown{MN}=t[/tex].
Външен за окръжността ъгъл се измерва с полуразликата на двете отсичани от него дъги:

[tex]\angle {CBA}= \frac{1}{2}\big((x+y+z)-t\big)[/tex]

[tex]\angle{CDA}= \frac{1}{2}\big((x+t+z)-y[/tex].

Тъй като четириъгълника [tex]ABCD[/tex] е вписан, то [tex]\angle{CBA}+\angle{CDA}=180 ^\circ[/tex].

Но също [tex]\angle{CBA}+\angle{CDA}= \frac{1}{2} \big((x+y+z)-t\big)+ \frac{1}{2}\big(x+t+z)-y\big)=x+y[/tex].

T.e. [tex](x+y)=180 ^\circ[/tex].

Нека означим пресечената точка на [tex]MP[/tex] и [tex]QN[/tex] с [tex]S[/tex].

[tex]\angle PSN= \frac{1}{2}(x+y)=90 ^\circ[/tex] (вътрешен ъгъл се измерва с полусбора на прилежащите му дъги)

Следователно [tex]PM \bot QN[/tex].

[Гост]

БЛАГОДАРЯ!

[Гост]

БЛАГОДАРЯ!