Уравнения на допирателни

[Гост]

Здравейте, моля ви за помощ за тази задача.

Намерете уравненията на допирателните от точка А към окръжност к, ако А(1;0) и к: [tex](х-3)^{2 }[/tex] + [tex](у-1)^{2 }[/tex] =1

[Гост]

Спешна ми е задачата.

[Гост]

Никой ли няма да помогне, моля?

[peyo]

Здравейте, моля ви за помощ за тази задача.

Намерете уравненията на допирателните от точка А към окръжност к, ако А(1;0) и к: [tex](х-3)^{2 }[/tex] + [tex](у-1)^{2 }[/tex] =1

Дръжте се, това ще е малко объркващо, защото вместо да решаваме прекалено сложни системи уравнения, ще ползваме смешни тригонометрични функции.

Да намерим първо правата която минава през А(1,0) и центъра на к C(3,1).

$y=(1-0)x/(3-1) + q$
$y=x/2 + q$
$0=1/2 + q$
$q=-1/2$

$y=x/2 -1/2$
$y=x tan(a) -1/2$

$tan(a)=1/2$

In [370]: math.degrees(math.atan(1/2))
Out[370]: 26.56505117707799 [tex]^\circ[/tex]

Значи това е права която има ъгъл 26 [tex]^\circ[/tex]

$d=\sqrt{((3-1)^2+(1-0)^2} = \sqrt{5}$

[tex]sin(\beta) = r/d = 1/\sqrt{5}[/tex]

In [380]: math.degrees( math.asin(1/math.sqrt(5)) )
Out[380]: 26.56505117707799

Значи правите която търсим ще имат 26+26 и 26-26 градиси.

In [378]: math.tan( math.atan(1/2) + math.asin(1/math.sqrt(5)))
Out[378]: 1.3333333333333333

$y=1.3333333333333333 x + w$

$0=1.3333333333333333 *1 + w$

$w= - 1.3333333333333333$

И така едно решение:

$\fbox{y=1.3333333333333333 x - 1.3333333333333333}$

Второ решение:

$\fbox{y=0}$

Да видим:

Screenshot 2024-01-21 165102.jpg (136.54 KiB) Прегледано 1242 пъти

[peyo]

Никой ли няма да помогне, моля?

А аз кво, парче месо ли съм?!

[nikola.topalov]

В хомогенни координати кривата [tex]k[/tex] от втора степен има вида $$k:F(x,y,t):=x^2+y^2-6xt-2yt+9t^2=0$$ Нека [tex]\pi(A)[/tex] е полярата на [tex]A(1,0,1)[/tex] спрямо [tex]k[/tex]. Тогава $$\pi(A):\dfrac{\partial F}{\partial x}(A)x+ \dfrac{\partial F}{\partial y}(A)y+ \dfrac{\partial F}{\partial t}(A)t=0\Rightarrow \pi(A):2x+y-6=0$$ Оттук [tex]\pi(A)\cap k =\{T_1(3,0,1),T_2(11,8,5)\}[/tex]. Пресмятаме [tex]\pi(T_1):y=0[/tex] и [tex]\pi(T_2):4x-3y-4t=0[/tex], които всъщност са допирателните към [tex]k[/tex], минаващи през [tex]A[/tex]. В нехомогенни координати са [tex]t_1:y=0[/tex] и [tex]t_2:4x-3y-4=0[/tex].

[Гост]

В хомогенни координати кривата [tex]k[/tex] от втора степен има вида $$k:F(x,y,t):=x^2+y^2-6xt-2yt+9t^2=0$$ Нека [tex]\pi(A)[/tex] е полярата на [tex]A(1,0,1)[/tex] спрямо [tex]k[/tex]. Тогава $$\pi(A):\dfrac{\partial F}{\partial x}(A)x+ \dfrac{\partial F}{\partial y}(A)y+ \dfrac{\partial F}{\partial t}(A)t=0\Rightarrow \pi(A):2x+y-6=0$$ Оттук [tex]\pi(A)\cap k =\{T_1(3,0,1),T_2(11,8,5)\}[/tex]. Пресмятаме [tex]\pi(T_1):y=0[/tex] и [tex]\pi(T_2):4x-3y-4t=0[/tex], които всъщност са допирателните към [tex]k[/tex], минаващи през [tex]A[/tex]. В нехомогенни координати са [tex]t_1:y=0[/tex] и [tex]t_2:4x-3y-4=0[/tex].

Понятията не ми говорят нищо . Забравих да уточня, че задачата е за 11. клас.

[nikola.topalov]

В такъв случай нека допирателната ти е [tex]t:y=kx+n[/tex]. Тъй като [tex]A(1,0)\in t[/tex], то [tex]t:y=kx-k[/tex]. В система сложи уравнението на [tex]t[/tex] и това на [tex]k[/tex], замести [tex]y=kx-k[/tex] в уравнението на [tex]k[/tex] и се запитай за коя стойност на [tex]k[/tex] полученото уравнение има единствено решение.

[peyo]

В такъв случай нека допирателната ти е [tex]t:y=kx+n[/tex]. Тъй като [tex]A(1,0)\in t[/tex], то [tex]t:y=kx-k[/tex]. В система сложи уравнението на [tex]t[/tex] и това на [tex]k[/tex], замести [tex]y=kx-k[/tex] в уравнението на [tex]k[/tex] и се запитай за коя стойност на [tex]k[/tex] полученото уравнение има единствено решение.

Звучи просто. Да видим!

In [410]: var("x,y,k")
Out[410]: (x, y, k)

In [411]: y=k*x-k

In [412]: circle = (x-3)**2+(y-1)**2-1

In [413]: circle
Out[413]: (x - 3)**2 + (k*x - k - 1)**2 - 1

In [414]: rx= solve(circle,x)

In [415]: rx
Out[415]:
[(k**2 + k - sqrt(k*(4 - 3*k)) + 3)/(k**2 + 1),
(k**2 + k + sqrt(k*(4 - 3*k)) + 3)/(k**2 + 1)]

In [416]: solve(rx[0]-rx[1])
Out[416]: [0, 4/3]

In [417]: 4/3
Out[417]: 1.3333333333333333