Ако окръжността с диаметър AD се допира до ВС в трапеца ABCD

[Гост]

За трапеца ABCD е дадено AB || CD, AB е перпендикулярна на BC, ВС = 6см и AD=8 см. Ако окръжността с диаметър AD се допира до ВС, лицето на трапеца (в см²) е:

[Евва]

Да означим AB=a=? CD=b=?
Нека окр. се допира до страната BC в т.M и пресича страната AB в т.H .
ABCD -правоъгълен трапец ,щом окр. се допира до BC в т.M , то OM[tex]\bot[/tex]BC
AB[tex]\bot[/tex]BC и OM[tex]\bot[/tex]BC [tex]\Rightarrow[/tex] OM||AB и също знаем ,че т.O е среда на AD [tex]\Rightarrow[/tex]
OM е средна отсечка в трапеца BM=CM=3 см.
Вписаният [tex]\angle[/tex]AHD =90[tex]^\circ[/tex] ,значи [tex]\triangle[/tex]AHD е правоъгълен и също съседният му [tex]\angle[/tex]BHD=90[tex]^\circ[/tex]
За четириъг. HBCD знаем ,че трите му ъгъла са 90 [tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] и последният му [tex]\angle[/tex]CDH=90[tex]^\circ[/tex]
HBCD е правоъгълник т.е. HB=DC=b
Остава да решим системата с две неизвестни a ,b .

[tex]\begin{array}{|l} AH^{2 } + DH^{2 } = AD^{2 } \\ BH.BA= BM^{2 } ( защотоBMедопирателна ) \end{array}[/tex]
Аз получих a+b=8 см. и [tex]S_{ABCD }[/tex]=24 [tex]см.^{2 }[/tex]

[S.B.]

За трапеца ABCD е дадено AB || CD, AB е перпендикулярна на BC, ВС = 6см и AD=8 см. Ако окръжността с диаметър AD се допира до ВС, лицето на трапеца (в см²) е:

Без заглавие - 2024-06-01T101436.597.png (166.41 KiB) Прегледано 284 пъти

Друг поглед върху задачата

ТЕОРЕМА : Правата,която минава през средата на едно от бедрата на трапец и е успоредна на една от основите му,разполовява другото бедро.

$AD$ - диаметър, $O$ център на окръжността [tex]\Rightarrow O[/tex] е средата на бедрото $AD$

[tex]\begin{cases} OT z O \\ OT || AB \end{cases} \Rightarrow T[/tex] е среда на бедрото $BC$
[tex]\Rightarrow OT[/tex] е средна отсечка.

[tex]\begin{cases} OT || AB \\ AB \bot BC\end{cases} \Rightarrow OT \bot BC[/tex]
Окръжността се допира до $BC$ в т. $T$ и $OT = 4$ като радиус в допирната точка.
[tex]S_{ABCD } = OT.BC \Leftrightarrow S_{ABCD } = 4.6[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABCD } = 24 cm^{2 } $$