Отношение на 2 отсечки

[dobmirdob]

Нека [tex]\triangle[/tex]АBC е триъгълник със стандартни означения на страните. Нека ъглополовящата на [tex]\angle[/tex]BAC пресича описаната около [tex]\triangle[/tex]ABC окръжност в точка L. Ако I е центърът на вписаната в [tex]\triangle[/tex]ABC окръжност, да се докаже, че [tex]\frac{AL}{LI}[/tex]=[tex]\frac{b+c}{a}[/tex]

[Гост]

Лема за тризъбеца (LI = BL = CL) + теорема на Птоломей (AL.BC = AC.BL + AB.CL).

Лема за тризъбеца: Задача на седмицата - Равни отсечки (намерено в Интернет) - КОРМОРАН - 27.01.2025.

[Darina73]

[tex]\frac{AL}{LI}= \frac{2Rsin( \frac{ \alpha }{2} + \beta ) }{BL} = \frac{2Rsin( \frac{ \alpha }{2}+ \beta )}{2Rsin \frac{ \alpha }{2} } =[/tex]

=[tex]\frac{sin(90 ^\circ - \frac{ \beta }{2}- \frac{ \gamma }{2} + \beta ) }{sin(90 ^\circ - \frac{ \beta + \gamma }{2} )}[/tex]=

= [tex]\frac{sin[ 90 ^\circ - \frac{ \beta - \gamma }{2} ] }{sin[ 90 ^\circ - \frac{ \beta +\gamma }{2} ] } = \frac{cos \frac{ \beta - \gamma }{2} }{cos \frac{ \beta + \gamma }{2} }[/tex]=

според Молвейдови формули = [tex]\frac{b+c}{a}[/tex]

Не зная за кой клас е задачата ,нито в кой клас се изучават тези формули .

[Darina73]

Не зная оригиналното доказателство на тези формули .
Ако желаеш ,мога да пратя свое доказателство ,че

[tex]\frac{cos \frac{ \beta - \gamma }{2} }{cos \frac{ \beta+ \gamma }{2} } =\frac{b+c}{a}[/tex]