радиуси

[sisika]

Катетите на правоъгълен триъгълник са 3 и 4. Да се намерят радиусите на външновписаните окръжности.

Намирам хипотенузата - с=5
Намирам и радиуса на окръжността към хипотенузата r=6
Но другите два радиуса - не мога.

[strangerforever]

Ще ти го опиша, ти си го начертай. Ако спуснеш радиуси от центъра на външновписаната към хипотенузата към АЦ (например). Свързваш Ц с центъра и получаваш равнобедрен триъгълник (понеже центърът е на ъглополовящата на Ц). В него едното бедро е радиусът, а другото - p (от осми клас, елементарно е доказателството). Намираш го.

По същия начин за другите две, само че използвайки външната ългополовяща на правия ъгъл. Пак се получава равнобедрен триъгълник, в единия случай с бедро p - a, в другия p - b.

Радиусите са p, p - a и p-b, т.е. 2, 3, 6.

[sisika]

наистина не ми е ясно - как става към катетите, към хипотенузата - знам как става.

[strangerforever]

наистина не ми е ясно - как става към катетите, към хипотенузата - знам как става.

Нека [tex]AC = 3, BC = 4, AB = 5.[/tex]

Нека [tex]I_b[/tex] е центърът на външновписаната към AC. Спускаме [tex]IH = r_b (H \in AC, IH \bot AC)[/tex] Построяваме [tex]I_bC[/tex]. Знаем, че това е ъглополовяща на външния ъгъл на [tex]\angle ACB[/tex], който е прав [tex]\Rightarrow \angle I_bCH = 45^\circ \Rightarrow \angle CI_bH = 45^\circ \Rightarrow CH = HI_b \Leftrightarrow p - a = r_b \Leftrightarrow 2 = r_b[/tex]

[sisika]

Благодаря ти, сега го разбрах вече.
Искам да попитам - възможен ли е вариант на тази задача - при произволен триъгълник - да не е уточнено, че е правоъгълен - ама без да са дадени ъглите на триъгълника.
В смисъл - това полуобиколката минус другата страна - да е валидно?

[dimy93]

в общият случай [tex]ra = \sqrt{\frac{p(p-b)(p-c)}{ p-a} }[/tex]-но пак си трябват 3 страни

[sisika]

Благодаря, разбрах - точно това се опитвах да попитам

[sisika]

но не мога да го докажа, може ли да ми обясни някой - как се доказва това чудо в общия случай

[dimy93]

но не мога да го докажа, може ли да ми обясни някой - как се доказва това чудо в общия случай

следва от херон ,формула за лицето на чрез радиуса на вписаната и подобни триъгълници
Като си пуснеш радиусите на външновписаната и вътрешновписаната към 1 и съща страна но не тази която се допира вътрешно до външновписаната получаваш 2 подобни правоъгълни триъгълници-от тях след малко сметки се получава ,че [tex]\frac{ra}{r }=\frac{p}{p-a }[/tex] <=>[tex]ra(p-a)=rp=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex] и от тук е ясно

[sisika]

Благодаря, разбрах