Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност ...

[abc]

Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност к (О). Ъглополовящите на ъгъл BAD и ъгъл BCD пресичат к в точките M и N. Докажете, че M, O и N лежат на една права.

[ins-]

С други думи - трябва да се докаже, че MN е диаметър, а за това ще трябва да се намери един хубав прав ъгъл

[inveidar]

Използвай, че ъглополовящата на вписан ъгъл разделя принадлежащата му дъга на две равни части. След това докажи, че някоя от дъгите МN е равна на 180 градуса. Това ще означава, че MN е диаметър.

[Евва]

Нека [tex]\angle[/tex]BAD=[tex]\alpha[/tex] ,ABCD е вписан [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]BCD=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex] .
AM и CN са ъглополовящи ,тогава вписаният [tex]\angle[/tex]ВАМ=[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex] и вписаният [tex]\angle[/tex]BCN=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]
[tex]\angle[/tex]BAM=[tex]\frac{\widehat{BM}}{2}[/tex] ;[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]=[tex]\frac{\widehat{BM}}{2}[/tex] ;[tex]\widehat{BM}[/tex]=[tex]\alpha[/tex]

[tex]\angle[/tex]BCN=[tex]\frac{\widehat{BN}}{2}[/tex] ;90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]=[tex]\frac{\widehat{BN}}{2}[/tex] ;[tex]\widehat{BN}[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]

[tex]\widehat{MBN}[/tex]=[tex]\widehat{BM}[/tex]+[tex]\widehat{BN}[/tex]=[tex]\alpha[/tex]+180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]

централният [tex]\angle[/tex]MON=[tex]\widehat{MBN}[/tex] т.е. [tex]\angle[/tex]MON=180[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] точките M,O и N лежат на една права