Ловеч 9 клас 2011

[Mathemagician]

Здравейте, тази задача е била давана за 9 клас миналата година в Ловеч, ама не мога да разбера решението което е написано, ако може някой да ми го реши ще съм му много благодарен
В ▲АВС точките J и I са съответно център на вписаната окръжност и център на външно вписан към страната АB окръжност. Отсечката IJ пресича описаната около ABC окръжност в точка М. Намерете отношениет IM:JM.
Знам че трябва да докажем ▲AIJ е правоъгълен и AM e mедиан, но не знам как.

[ganka simeonova]

Искаш ли да поразсъждаваме заедно?
1) Точките J и I са пресечни точки на....

[amsara]

Отношението е 1:1,понеже двете отсечки са равни. Утре ще напиша решението, ако някой не го направи преди това. Дотогава мога да ти кажа най-лесното. Това, че триъгълникът е правоъгълен можеш да си докажеш с най-прости сметки.
АJ e вътрешна ъглополовяща =>[tex]JAB=\frac{\alpha }{ 2}[/tex]
[tex]180 - \alpha[/tex] е външният ъгъл и [tex]AI[/tex]- ъглополовяща на външния ъгъл при върха А
[tex]\angle BAI = \frac{180-\alpha }{2 } = 90 - \frac{\alpha }{ 2}[/tex]
[tex]\angle JAI = \frac{\alpha }{2 } + 90 - \frac{\alpha }{ 2}= 90^\circ[/tex]

Ще го довърша още сега, само няма да прикачвам чертеж, че ме мързи да снимам.
Имамe описана окръжност около ▲ABC.
[tex]=>\angle MAB = \angle MCB = \frac{\gamma }{ 2}[/tex]
[tex]=> \angle AMC = \angle ABC = \beta[/tex]
Разглеждаме ▲AMJ.
[tex]\angle JAM + \angle AMJ + \angle AJM = 180[/tex]
[tex]\frac{\alpha }{2 }+\frac{\gamma }{ 2} +\beta +\angle AJM = 180[/tex]
[tex]\frac{\alpha +\gamma }{ 2} + \beta + \angle AJM=180[/tex]
[tex]\frac{180 -\beta }{ 2} + \beta + \angle AJM =180[/tex]
[tex]\angle AJM = \frac{360 - 180+\beta -2\beta }{2 }=\frac{180-\beta }{2 }[/tex]
[tex]\angle JAM = \angle AJM = \frac{180-\beta }{2 }[/tex]
[tex]\Delta AMJ[/tex] е равнобедрен и [tex]AM=JM[/tex] (1)
Разглеждаме ▲АМI.
[tex]\angle AMI =180- \beta[/tex] съседен
[tex]\angle IAM = 90- \frac{180-\beta }{2 } = \frac{180-180+\beta }{2 }=\frac{\beta }{2 }[/tex]
[tex]\angle AIM = 180 - (180-\beta) - \frac{\beta }{ 2} = 180-180+\beta-\frac{\beta }{2 } =\frac{\beta }{2 }[/tex]
[tex]\Delta AMI e[/tex] равнобедрен и [tex]AM=MI[/tex] (2)
От (1) и (2) =>
[tex]MI=JM => 1:1[/tex]

[Mathemagician]

Искаш ли да поразсъждаваме заедно?
1) Точките J и I са пресечни точки на....

еми на ъглополовящите на А В С

[Mathemagician]

Хаха мерси много, токущо я реших задачата, и ти написа решението иначе мерси много за помощта и на двамата