Доста интересна задача за полуокръжност

[IceMonkata]

В полуокръжност с радиус 8 см са вписани два кръга, допиращи се един до друг, до полуокръжността и до нейния диаметър. Радиусите на двата кръга се отнасят както 9:2. Да се пресметнат тези радиуси.

Не мога да изкарам решението на тази задача, която е от сборника на Коларов , раздел метрични зависимости в правоъгълен триъгълник . Отговорите са 2 см и 4/9 см

[ева]

Скрит текст: покажи

Може да греша,но получавам друг отговор.Утре ще я проверя и ако не намеря грешка-ще я напиша.

отг. [tex]\frac{4\sqrt{193}-44}{9}[/tex] см.; 2[tex]\sqrt{193}[/tex]-22 см.

[ева]

Получих отговора в случай,че т.[tex]О_{1 }[/tex] и т.[tex]О_{2 }[/tex] (центровете на двете окр.) стоят отляво и отдясно на т.О (центъра на полуокръжността).
Явно този отг. отпада

[Davids]

Получих отговора в случай,че т.[tex]О_{1 }[/tex] и т.[tex]О_{2 }[/tex] (центровете на двете окр.) стоят отляво и отдясно на т.О (центъра на полуокръжността).
Явно този отг. отпада

Че не е възможен такъв случай, не е възможен, но дори и да беше, отговорът ти е резултат от едно изначално грешно допускане - че $\angle O_1OO_2$ е винаги прав, което не е така.

Предлагам едно решение в следния вид

Чертеж.png (30.44 KiB) Прегледано 684 пъти

Нека радиусите са съответно $r = O_1M = 2x$ и $R = O_2N = 9x$.
Тогава, ако спуснем перпендикуляр $O_1K \bot R$, ще имаме $MN = O_1K = \sqrt{121x^2 - 49x^2} = 6\sqrt{2}x$
Паралелно с това по Питагорова теорема имаме $ON = \sqrt{OO_2^2 - R^2} = 4\sqrt{4 - 9x}$
Следователно за цялата $OM = 6\sqrt{2}x + 4\sqrt{4 - 9x}$ и остана да направим последна Питагорова за $\Delta OO_1M$:
$OO_1^2 = r^2 + OM^2$
$(8 - 2x)^2 = 4x^2 + (6\sqrt{2}x + 4\sqrt{4 - 9x})^2$

Доразвиваме, опростяваме, достигаме до:
$6\sqrt{2(4-9x)} = 14 - 9x$

Повдигаме на квадрат и получаваме квадратното у-е:
$81x^2 + 396x - 92 = 0$

След адски мъки (ако решаваш без калкулатор...), достигаш до корените:
$x_1 = -\frac{46}{9}$
$x_2 = \frac{2}{9}$
от които само вторият е положителен и ни устройва.
Оттам и двата радиуса са $r = 2x = \frac{4}{9}$ и $R = 9x = 2$.
Но тази сметкаджийщина накрая не ме накефи, иначе аз за по-семпъл начин не се сещам

[KOPMOPAH]

Поправете ме, ако греша.
Тази задача със сигурност има повече от една двойка радиуси (в отговора, виж чертежа). Следователно дадените $2$ и $\frac 49$ просто не са единствените.

Доста интересна задача за полуокръжност.png (9.45 KiB) Прегледано 682 пъти

Нещо повече - на чертежа съм сложил три окръжности, които изпълняват даденото условие (без да претендирам за точност, просто да онагледя идеята си). В малкия криволинеен триъгълник вляво от най-малката може да се впише нова, по-малка окръжност. Безспорно е, че така може да се промени радиусът на най-малката (до момента, ясно е, че новата е с по-малък радиус), че сакралното отношение $9:2$ да бъде изпълнено. Ако всичко това е вярно, значи има цял клас решения на задачата.

[Davids]

Даденото отношение 9:2 не е ли изпълнено само по веднъж на половина от полуокръжността така, че да са изпълнени всички допирателности?

[ева]

Сгрешила съм един знак и тогава [tex]\angle[/tex][tex]О_{1 }[/tex]О[tex]О_{2 }[/tex][tex]\ne[/tex]90[tex]^\circ[/tex].

Скрит текст: покажи

Реших я точно като Davids (3 пъти ползвах Питагорова Т.)