Множество от точки

[mdelyakova]

Здравейте и предварително се извинявам, ако задачата не е за този раздел. От сборника на Коларов е (9.43) , но не мога да разбера самото условие и ми звучи малко странно: Да се намери множеството от точки, разстоянията на които да две дадени точки са m/n, където m ≠ n са дадени отсечки.
предварително благодаря

[drago]

[tex]A, B[/tex] са дадени точки, [tex]m,n[/tex] - дадени отсечки. Да се построи множ. от точки [tex]X[/tex], такива че [tex]\frac{XA}{XB}= \frac{m}{n}[/tex].

[mdelyakova]

Значи не е задължително A и B да са от m и n ?

[drago]

Навярно те смущава това, че за да се определи това ГМТ не е важно какви са [tex]m[/tex] и [tex]n[/tex] , а е важно тяхното отношение.
Т.е. ако имаме фиксирани т. [tex]A,B[/tex] и някакво [tex]\alpha \in \mathbb{R}[/tex] аз мога да кажа какво е множеството от т.[tex]X[/tex], такива, че [tex]\frac{XA}{XB}=\alpha[/tex]. Именно, ако [tex]\alpha\neq 1[/tex] на правата [tex]AB[/tex] има две единствени точки: [tex]X_1, X_2[/tex], т.ч. [tex]\frac{X_i A}{X_i B}=\alpha, \, i=1,2[/tex]. Едната е вътре в отсечката [tex]AB[/tex], другата е извън нея. Тогава мнжеството от всички такива точки е окръжността с диаметър [tex]X_1X_2[/tex].
Проблемът е, че ако [tex]\alpha[/tex] е някакво произволно ирационално число, ние можем да посочим какво е това ГМТ, но не можем да го построим(с линийка и пергел). Обаче, ако ни са дадени някакви помощни отсечки [tex]m,n[/tex] , такива, че [tex]\frac{m}{n} = \alpha[/tex] , ние вече можем да построим [tex]X_1[/tex] и [tex]X_2[/tex] (а от там и цялото това ГМТ) с линийка и пергел , като използваме така зададените [tex]m,n[/tex]. Така, че няма никакво значение къде лежат [tex]m[/tex] и [tex]n[/tex], може да считаш, че са изнесени някъде настрани.