Отношение на отсечки

[Aneliya]

Отсечката СМ (М [tex]\in[/tex] АВ) е медиана в [tex]\Delta[/tex]ABC. Отсечката [tex]AA_{1} (A_{1}\in BC)[/tex] разполовява СМ. Да се намери отношението [tex]\frac{CA_{1}}{A_{1}B }[/tex].

[strangerforever]

http://en.wikipedia.org/wiki/Menelaus'_theorem

[Xixibg]

Отсечката СМ (М [tex]\in[/tex] АВ) е медиана в [tex]\Delta[/tex]ABC. Отсечката [tex]AA_{1} (A_{1}\in BC)[/tex] разполовява СМ. Да се намери отношението [tex]\frac{CA_{1}}{A_{1}B }[/tex].

[tex]\frac{CA_{1}}{A_{1}B }=\frac{1}{2}[/tex]

[Aneliya]

Благодаря. Получи се по Менелай.

[Xixibg]

Ако не знаеш за теоремата на Менелай ето ти друго решение:
Нека [tex]N[/tex] е средата на [tex]BC[/tex].През [tex]C[/tex] построяваме права [tex]k||AB ; k\cap MN=D[/tex]
[tex]\triangle MBN,\triangle NCD[/tex] еднакви по 2-ри признак
[tex]1.\angle MBN=\angle NCD[/tex]-като кръстни[tex](CD||AB)[/tex] [tex]2.\angle MNB=\angle CND[/tex] - като връхни
[tex]3.BN=CN[/tex] [tex](N[/tex] е средата на [tex]BC)[/tex]
[tex]=>MN=ND[/tex] Като СЕЕТ [tex]=>N[/tex] е средата на [tex]MD ; AD\cap CM=O ; =>O[/tex] е средата на [tex]CM[/tex]
[tex]=>A_1[/tex] е медицентър на [tex]\triangle MCD ; =>\frac{CA_1}{A_1N}=\frac{2}{1} ; =>\frac{CA_1}{A_1N}=\frac{1}{2}[/tex]

[Aneliya]

Благодаря. Ако може малко помощ и със следната задача:
За страните a, b и c на ABC и съответните медиани [tex]m_{a}, m_{b}, m_{c}[/tex] да се докаже, че:
а) [tex]m_{c} < \frac{a+b}{2 }[/tex]
б) [tex]m_{c} + m_{b} + m_{a} <\frac{3}{2 }p[/tex], където р е полупериметър на ABC.

[Xixibg]

а)[tex]A_1,B_1,C_1[/tex] са съответно средите на [tex]BC,AC,AB ; =>C_B_1[/tex] е средна отсечка в [tex]\triangle ABC[/tex]
Нeравенства за страните на триъгълника[tex]\triangle B_1CC_1 ; =>CC_1<B_1C_1+B_1C ; =>m_c<\frac{a+b}{2}[/tex]

А за б) това ли е условието?

б) [tex]m_{c} + m_{b} + m_{a} <\frac{3}{2 }p[/tex], където р е полупериметър на ABC.

[Xixibg]

Според мен знакът на неравенството е обратен

[Aneliya]

Благодаря за а). : ) Колкото до б), да, така е написано в сборника, може и да е допусната грешка. А как ще стане, ако знака е наобратно?

Едит: Всъщност по логиката на а) пресметнах, че сборът на медианите е по-малък от периметъра => сборът е по-малък и от 3/2 от полупериметъра = полуметъра + 1/2 полупериметъра. Не съм сигурна, че е правилно, но според мен има логика да е така.

[ganka simeonova]

Благодаря за а). : ) Колкото до б), да, така е написано в сборника, може и да е допусната грешка. А как ще стане, ако знака е наобратно?

Построй си медицентъра G и медианите АА1, ВВ1, СС1. Тогава от триъгълник CGB=>
[tex]CG+GB>CB=>\frac{2}{3 } m_c+\frac{2}{ 3} m_b>a[/tex]
Аналогично: [tex]\frac{2}{3 } m_c+\frac{2}{ 3} m_a>b[/tex]
[tex]\frac{2}{3 } m_a+\frac{2}{ 3} m_b>c[/tex] Събираме неравенствата и получаваме:
[tex]\frac{4}{3 } (m_a+m_b+m_c)>2p=>m_a+m_b +m_c>\frac{3}{ 2} p[/tex]

[Aneliya]

Благодаря. Разбрах го.