Уравнение

[pipi langstrump]

Да се реши уравнението [tex]\normal \vec{x} = \vec{a} + \vec{x}\times\vec{b}[/tex]

[kerry]

Дадено:
[tex]\vec{a} (x_a,y_a,z_a)\\ \vec{b} (x_b,y_b,z_b)[/tex]

Търси се:
[tex]\vec{x} (x_x,y_x,z_x)[/tex]

[tex]\vec{x}-\vec{x}X\vec{b}=\vec{a}[/tex]

[tex]x_x\vec{i}+y_x\vec{j}+z_x\vec{k}-\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\
x_x & y_x & z_x \\
x_b & y_b & z_b
\end{vmatrix}=x_a\vec{i}+y_a\vec{j}+z_a\vec{k}[/tex]

Получава се система от три уравнения с трите търсени неизвестни

[tex]\left|\begin{matrix}
x_x-z_by_x+y_bz_x=x_a\\
z_bx_x+y_x-x_bz_x=y_a\\
-y_bx_x+x_by_x+z_x=z_a
\end{matrix}\right.[/tex]

[pipi langstrump]

Така обаче ще намериш само компонентите на x, а целта е да се изрази самия вектор посредством някаква комбинация от векторни операции между а и b (то не че не е възможно и така, ама ще е някак тегаво).
Ето един възможен начин за решение

[tex]\normal \vec{x} = \vec{a} + \vec{x}\times\vec{b}[/tex]
Правим една итерация на [tex]\vec{x}[/tex] и получаваме
[tex]\normal \vec{x} = \vec{a} + (\vec{a} + \vec{x}\times\vec{b})\times\vec{b}=\vec{a} + \vec{a}\times\vec{b} + (\vec{x}\times\vec{b})\times\vec{b}= \vec{a} + \vec{a}\times\vec{b} + (\vec{x}.\vec{b})\vec{b} - \vec{b}^2\vec{x}[/tex]
Умножаваме [tex]\normal \vec{x} = \vec{a} + \vec{x}\times\vec{b}[/tex] скаларно с [tex]\normal \vec{b}[/tex] и получаваме
[tex]\normal \vec{x}.\vec{b} = \vec{a}.\vec{b} + \vec{b}.(\vec{x}\times\vec{b}) = \vec{a}.\vec{b}[/tex]
Следователно [tex]\normal \vec{x} = \vec{a} + \vec{a}\times\vec{b} + (\vec{a}.\vec{b})\vec{b} - \vec{b}^2\vec{x}[/tex]
или
[tex]\normal \vec{x} = \frac{\vec{a} + \vec{a}\times\vec{b} + (\vec{a}.\vec{b})\vec{b} }{1+\vec{b}^2 }[/tex]

[kerry]

Дадено:
[tex]\vec{a} (x_a,y_a,z_a)\\ \vec{b} (x_b,y_b,z_b)[/tex]

Значи не е дадено.

Поздравления за решението.




pipi langstrump , искаше ми се да ти повиша кармата.

[pipi langstrump]

Мерси, но не съм се сетил аз за това решение. Просто реших да го споделя, защото и мене ме кефи

[pipi langstrump]

Решете:
[tex]\normal\vec{x} = \vec{a} + \vec{x}\times\vec{b} + (\vec{x}.\vec{c})\vec{d}[/tex]

[grav]

Има една книжка на Чобанов, ако не се лъжа, казва се Векторна алгебра, ако не се лъжа, в нея има идна камара подобни уравнения.