Задача - Векторна база в пирамида

[dextur33]

Основата ABCD на четириъгълна пирамида VABCD е ромб с дължина на страната а и ъгъл BAD=60. Докажете, че ако VA=a ,то [tex]VB^{2} + VD^{2} = VC^{2}[/tex]
Ако някой може да реши задачата, използвайки подходяща ветторна база и след това и скаларното произведение, ще съм му много благодарна.

[ganka simeonova]

Да е казано случайно още, че [tex]\angle VAD=\angle VAB[/tex]?

[dextur33]

Да е казано случайно още, че [tex]\angle VAD=\angle VAB[/tex]?

Не, за жалост не е казано такова нещо.

[grav]

Разглеждаш веторите [tex]\vec{AV}[/tex], [tex]\vec{AB}[/tex] и [tex]\vec{AD}[/tex]. Те образуват база. Изразяваш тези страни, които участват в равенството за доказване и пресмяташ квадратите им чрез скаларното произведение. Всичко си излиза.

[dextur33]

Разглеждаш веторите [tex]\vec{AV}[/tex], [tex]\vec{AB}[/tex] и [tex]\vec{AD}[/tex]. Те образуват база. Изразяваш тези страни, които участват в равенството за доказване и пресмяташ квадратите им чрез скаларното произведение. Всичко си излиза.

Можеш ли да ми го напишеш, защото пак не ми излиза.

[ganka simeonova]

За скаларно произведение на два вектора трябва и ъгъла м/у тях. Затова попитах за ъглите. Ако са равни, става много лесно.

[grav]

Изразяваш ги чрез басисните вектори.

[tex]\vec{VB}=\vec{AB}-\vec{AV}[/tex]
[tex]\vec{VD}=\vec{AD}-\vec{AV}[/tex]
[tex]\vec{VC}=\vec{AB}+\vec{AD}-\vec{AV}[/tex]

От тук намираш квадратите на дължините им, чрез скаларното произведение

[tex]VB^2=\vec{VB}\cdot\vec{VB}=(\vec{AB}-\vec{AV})\cdot(\vec{AB}-\vec{AV})=AB^2+VA^2-2(AB)(AV)\cos(\angle VAB)[/tex]
[tex]VB^2=2a^2-2a^2\cos(\angle VAB)[/tex]

По подобен начин намираш и

[tex]VD^2=2a^2-2a^2\cos(\angle VAD)[/tex]

За третата имаш

[tex]VC^2=\vec{VC}\cdot\vec{VC}=(\vec{AB}+\vec{AD}-\vec{AV})\cdot(\vec{AB}+\vec{AD}-\vec{AV})[/tex]

От където като пресметнеш получаваш

[tex]VC^2=4a^2-2a^2\cos(\angle VAB)-2a^2\cos(\angle VAD)[/tex]

Всичко е директни и рутинни сметки, само трябва да се внимава.