Кога точките са на една права?

[yasen197]

Затрудни ме следната задача:
Точка М е средата на страната АВ на успоредника ABCD.
a) Постройте точка P, така че [tex]\vec{DP}[/tex] = 2[tex]\vec{DM}[/tex]
б) Докажете, че точките C,B и P лежат на една права.

П.С. Аз построението го направих, то е лесно, ама не знам доказателството. Мислех CP=2BP, ама и това не мога да го докажа... Благодаря ви предварително!

[ева]

Няма да използвам вектори,ето каква е идеята ми:
АВ и DP се явяват диагонали в APBD и взаимно се разполовяват[tex]\Rightarrow[/tex] APBD е успоредник[tex]\Rightarrow[/tex]
ако [tex]\angle[/tex]PBD=[tex]\alpha[/tex] (1) , то [tex]\angle[/tex]BDA=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]
[tex]\angle[/tex]BDA=[tex]\angle[/tex]DBC (кръстни) т.е. [tex]\angle[/tex]DBC=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex] (2)
събираме (1) и (2) [tex]\angle[/tex]PBD +[tex]\angle[/tex]DBC=[tex]\alpha[/tex]+180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]=180[tex]^\circ[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\angle[/tex]PBD и [tex]\angle[/tex]DBC са съседни[tex]\Rightarrow[/tex] т.С,т.В,т.Р лежат на една права.

[Добромир Глухаров]

$\vec{CP}=\vec{CD}+\vec{DP}=-\vec{AB}+2\vec{DM}=-\vec{AB}+2(\vec{AM}-\vec{AD})=\\=-\vec{AB}+2\vec{AM}-2\vec{AD}=-\vec{AB}+\vec{AB}-2.(-\vec{CB})=2\vec{CB}$

$\vec{CP}=2\vec{CB}$

[ева]

Вече разбрах как става.Много благодаря!