База на Векторно Подпространство

[Emsss777]

Здравейте!

Имам малко затруднения с една задача с вектори.

Дадено е векторното подпространство [tex]W=(x,y,z)\in R^3[/tex] | [tex]x+y+z=0[/tex]
Трябва да се докаже, че вектор [tex]B=(-1,0,1),(-1,3,-2)[/tex] е база на [tex]W[/tex].

До колкото знам първо трябва да се провери, че вектор [tex]B\in W[/tex]:

[tex]-1+0+1=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex](-1,0,1)\in W[/tex]

[tex]-1+3+(-2)=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex](-1,3,-2)\in W[/tex]

И след като ранга на матрицата от тези два вектора е 2, можем да кажем, че те са линейно независими.

Та, какво още трябва да се свърши за да се докаже, че вектор B е база на векторното подпространство W?

[krumbgf]

Решаваш уравнението с което е зададено подпространството.
Получава се [tex](-y-z,y,z)[/tex] , получаваме ФСР на подпространството :
[tex](-1,1,0) , (-1,0,1)[/tex] Последните два вектора са базис на W. Следователно W е двумерно подпространство и значи всеки два линейно независими вектора от W са базис.

[Emsss777]

А какво е "ФСР на подпространството"? И как по-точно се получи [tex](-1,1,0) , (-1,0,1)[/tex]?

Аз имам тук едно друго решение, но не мога да разбера и то как се е получило:

[tex]x+y+z=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]z=-x-y[/tex]

[tex](x,y,z)=(-x-(\frac{1}{3})y )(-1,0,1)+(\frac{1}{3})y(-1,3,-2)=(x,y,-x-y)=(x,y,z)[/tex]

Не мога да разбера откъде дойде [tex]\frac{1}{3}[/tex]?

[krumbgf]

ФСР - базисна (фундаментална) система решения.
От уравнението дето имаш излиза, че [tex]x=-y-z[/tex]
Значи общия вид на решенията на тая система е [tex](-y-z,y,z)[/tex]
И сега искам да получа линийно независими решения и затова първо замествам с [tex]y=0 , z=1[/tex] после с [tex]y=1 , z=0[/tex] и получавам последователно [tex](-1,0,1) , (-1,1,0)[/tex] Тия вектори са базис и значи подпространството е двумерно.
Иначе тия сметки също може да не се прават защото си има такава теорема :
"Множеството от решенията на система хомо-генни линейни уравнения с n неизвестни и ранг r е (n−r) -мерновекторно подпространство на [tex]R^n[/tex] "

А по даденото от теб решение това 1/3 идва изкуствено. Просто трябва да се покаже, че всеки вектор от подпространството се изразява като сума от произведение на число с базисните вектори.

[Emsss777]

Благодаря ти за изчерпателния отговор, krumbgf!

С тази задача ми се изясниха доста неща.

[Emsss777]

Сетих се още нещо.

А ако имаме дадени вместо едно, две уравнения, как ще процедираме?

Например:

Дадено е векторното подпространство [tex]E=(x,y,z,t)[/tex] | [tex]x+y=z[/tex], [tex]x-y=t[/tex].

Как ще докажем в този случай, че вектор [tex]A=(1,0,1,1),(0,1,1,-1)[/tex] е базис на [tex]E[/tex] ?

[krumbgf]

От даденото директно следва, че решенията са от вида [tex](x,y,x+y,x-y)[/tex]
И сега като заместиш x и y първо с 1 и 0, а после с 0 и 1 се получава точно [tex](1,0,1,1) , (0,1,1,-1)[/tex]

[Emsss777]

Я, колко просто било!

Имам само още един последен въпрос:

Как може да се намери друга база на [tex]E[/tex], която да съдържа и вектора [tex]v=(1,1,2,0)[/tex]?

[Emsss777]

Да не би просто да трябва да заместя първо с [tex]x=1[/tex] и [tex]x=0[/tex] и после с [tex]x=1[/tex] и [tex]y=1[/tex] и така да получа вектора [tex](1,0,1,1),(1,1,2,0)[/tex]?

[krumbgf]

E е двумерно подпространство. Значи всеки два ЛНЗ вектора от Е ще са негов базис.
Така, че който и от двата вектора да вземеш [tex](1,0,1,1) , (0,1,1,-1)[/tex] заедно с V ще образуват базис на E.
Разбира се може да си избереш и някакъв друг вектор. Например вектора [tex](2,1,3,1)[/tex] също е добър Въобще има безкрайно много вектори които може да избереш и те заедно със v да образуват базис.

[Emsss777]

Ясно! Мерси много, krumbgf !!!