Векторни Подпространства

[Emsss777]

За да си доизясня векторните подпространства имам още една задачка за Вас.

Дадени са векторите: [tex]c_1=(1,0,1,0,1,1)[/tex], [tex]c_2=(0,1,0,0,0,1)[/tex], [tex]c_3=(1,0,0,0,1,0)[/tex], които генерират векторното подпространтво [tex]E_1[/tex].

Освен това са дадени и векторите: [tex]v_1=(5,1,6,0,5,7)[/tex], [tex]v_2=(1,3,1,0,1,4)[/tex], [tex]v_3=(1,0,2,0,1,2)[/tex], които генерират векторното подпространтво [tex]E_2[/tex].

Също така е даден и векторът: [tex]W=(2,2,3,0,2,5)[/tex]

Та, как да изчислим векторните подпространства [tex]E_1[/tex] и [tex]E_2[/tex] ?

[tex]W[/tex] [tex]\in[/tex] [tex]E_2[/tex] ?

Могат ли да се генерират в една система [tex]W[/tex] и [tex]c_1[/tex], [tex]c_2[/tex] и [tex]c_3[/tex] ?

[krumbgf]

Пак вкарваш векторите в една система, правиш преобразувания. С цел да стигнеш до трапецовидна форма. След това правиш ФСР. И така получаваш коефициентите във хомогенната система.
В последствие се оказва че, и Е1 и Е2 задават едно и също подпространство със решение [tex](-q,-p,-p,0,q,p)[/tex]
И като заместиш със 1 и 0 става : [tex](-1,0,0,0,1,0) , (0,-1,-1,0,0,1)[/tex] освен това имаш и че [tex]x_{4} = 0[/tex]
И така коефициентите в хомогенната система са съответните координати във ФСР-то което получихме :
[tex]-x_{1} + x_{5} = 0[/tex]
[tex]-x_{2} - x_{3} + x_{6} = 0[/tex]
[tex]x_{4} = 0[/tex]
Сега като заместим в уравненията координатите на W излиза че W принадлежи във E2 ,също и в Е1 (Е1 и Е2 съвпадат).
W,c1,c2,c3 немогат да генерират система защото са ЛЗ.

[Emsss777]

Благодаря ти, krumbgf!

Нещата ми се изясниха напълно.

[krumbgf]

За последното не съм разбрал добре въпроса. W,c1,c2,c3 принадлежат на E1 и следователно се генерират от получената от нас хомогенна система.

[Emsss777]

По-скоро, аз не съм подредил както трябва въпросите.

Първо се пита, дали могат да се генерират в една система [tex]W[/tex] и [tex]c_1,c_2,c_3[/tex].

Мисля, че първият ти отговор е верен, защото действително двата вектора са линейно зависими.

Но ако все пак могат да се генерират, би ли показал как точно става?

[krumbgf]

Ами точно това е че не разбирам точно какво се пита.
Интерпретация 1 : Съществува ли хомогенна система която да генерира едновременно векторите W,c1,c2,c3 ?
Отговор : Да съществува и тя е
[tex]-x_{1} + x_{5} = 0[/tex]
[tex]-x_{2} - x_{3} + x_{6} = 0[/tex]
[tex]x_{4} = 0[/tex]
Интерпретация 2 : Генерират ли W,c1,c2,c3 векторно подпространство ?
Отговор : W,c1,c2,c3 са ЛЗ и следователно генерираното от тяхната линейна обвивка подпространството е същото като подпространството генерирано от c1,c2,c3. И в такъв смисъл те не генерират подпространство различно от Е1.

[Emsss777]

Да ти кажа честно и аз не знам коя е вярната интерпретация, но ти благодаря за отговорите и на двете интерпретации.