Помощ с една задача.

[pansa96]

Докажете, че множеството R2[x] снабдено с действието:
[tex]\vec{P}[/tex]=a2[tex]x^{2}[/tex]+a1x+a0,
[tex]\vec{Q}[/tex]=b2[tex]x^{2}[/tex]+b1x+b0[tex]\rightarrow[/tex] [tex]\vec{P}[/tex][tex]\vec{Q}[/tex],
[tex]\vec{P}[/tex][tex]\vec{Q}[/tex]=4a0b0+(a2+a1)b1+(a1+2a2)b2
е евклидово векторно пространство. Пресметнете косинуса на ъгъла между[tex]\vec{P}[/tex]1=[tex]x^{2}[/tex]+X, [tex]\vec{Q}[/tex]1=-[tex]x^{2}[/tex]+x-1.

[stflyfisher]

Докажете, че множеството R2[x] снабдено с действието:
[tex]\vec{P}[/tex]=a2[tex]x^{2}[/tex]+a1x+a0,
[tex]\vec{Q}[/tex]=b2[tex]x^{2}[/tex]+b1x+b0[tex]\rightarrow[/tex] [tex]\vec{P}[/tex][tex]\vec{Q}[/tex],
[tex]\vec{P}[/tex][tex]\vec{Q}[/tex]=4a0b0+(a2+a1)b1+(a1+2a2)b2
е евклидово векторно пространство. Пресметнете косинуса на ъгъла между[tex]\vec{P}[/tex]1=[tex]x^{2}[/tex]+X, [tex]\vec{Q}[/tex]1=-[tex]x^{2}[/tex]+x-1.

Трябва да се докажат и четирите аксиоми за реално Евклидово векторно пространство за така въведеното скаларно произведение:

1) Комутативност: [tex]\vec{P}\vec{Q} = \vec{Q}\vec{P}[/tex]

2) Дистрибутивност: [tex]\vec{P}( \vec{Q}+\vec{R} )= \vec{P}\vec{Q}+ \vec{P}\vec{R}[/tex]

3) Хомогенност: [tex](\lambda\vec{P})\vec{Q} = \lambda(\vec{P}\vec{Q})[/tex], [tex]\lambda \in \mathbb{R}[/tex]

4) Позитивност: [tex](\vec{P})^{2} = \vec{P}\vec{P}, (\vec{P})^{2}>0, за \vec{P} \ne \vec{0}[/tex]

За пресмятането на косинуса, се използва формулата [tex]cos(\vec{P};\vec{Q}) = \frac{\vec{P}\vec{Q}}{|\vec{P}||\vec{Q}|}[/tex], където [tex]|\vec{P}|=\sqrt{(\vec{P})^2}[/tex]