Две задачи за координати на триъгълник и образ при ротация

[Saninani]

Помощ с две задачи

[KOPMOPAH]

Подточка а) на първа задача може да се реши така:
Средата $M$ на $AB$ има координати $$M\left(\frac{x_A+x_B}2; \frac{y_A+y_B }2;\frac{z_A+z_B}2\right) =M(3;-1;5)$$ откъдето се получава $$\begin{array}{|l}\frac{2+x_B}2= 3, \,x_B=4 \\ \frac{1+y_B}2= -1, \,y_B=-3 \\\frac{-3+z_B}2= 5, \,z_B=13 \\ \end{array}$$ съответно$$B(4;-3;13) $$
Както е известно, медицентърът $G$ на триъгълник $\triangle ABC$ има координати $$G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}3; \frac{y_A+y_B+y_C}3; \frac{z_A+z_B+z_C}3\right)=G(3;1;1)$$ заместваме и получаваме $$\begin{array}{|l}\frac{2+4+x_C}3= 3, \,x_C=... \\ \frac{1-3+y_C}3= 1, \,y_C=... \\\frac{-3+13+z_C}3= 1, \,z_C=... \\ \end{array}$$

[KOPMOPAH]

За втора задача мога да изкажа следните съображения:

След като векторите $\vec{ON}$ и $\vec{AM}$ са колинеарни, значи съществува такова $k$, че да е изпълнено $$\vec{ON}=k.\vec{AM}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$
Записано с координати би изглеждало така $$(x_N-x_O;y_N-y_O)=k(x_M-x_A;y_M-y_A)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$ тъй като т. $M$ лежи на абсцисата, значи $y_M=0$ и $(2)$ придобива следния вид $$(2;1)=k(x_M-5;-2)$$ откъдето се получава, че $k=-\frac 12$, $x_M=1$ и $M(1;0)$

Да си припомним, че в двумерното пространство координатите на точка след ротация на ъгъл $\theta$ се получават така:

$$x' = x \cos \theta - y \sin \theta$$
$$y' =x \sin \theta + y \cos \theta$$ В случая $\theta=60^\circ$, $x=1$, $y=0$, значи $$x_{M'} = 1. \cos 60^\circ - 0. \sin 60^\circ=\frac 12$$
$$y_{M'} =1.\sin 60^\circ + 0. \cos \theta=\frac{\sqrt 3}2$$ $$M\left(\frac{1}2 ;\frac{\sqrt 3}2\right)$$