екстремалана задача

[Тодор Ясенов]

unknown.png (45.47 KiB) Прегледано 1143 пъти

[Добромир Глухаров]

При стандартни означения и $\angle CPQ=\theta$ получих $\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta PQC}}=\frac{ab}{\left(b+0,3c\cdot\frac{sin(\alpha-\theta)}{sin\theta}\right)\left(a-0,7c\cdot\frac{sin(\alpha-\theta)}{sin(\alpha+\beta-\theta)}\right)}$. Може би с производна може да се намери максимума на този израз спрямо $\theta$.

Със Solver на Excel получих за максимума около $\sqrt[4]{2}$, но това си е нумерология, а не математическо решение.

[vezni]

geogebra-export.png (38.52 KiB) Прегледано 1069 пъти

[tex]\frac{S_{ABC}}{S_{PQC}}=\frac{\frac 12.CA.CB.\sin\angle ACB}{\frac 12.CP.CQ.\sin\angle PCQ}=\frac{CA}{CP}.\frac{CB}{CQ}[/tex]
Означаваме отношението [tex]\frac{CA}{CP}=x[/tex] и построяваме т. [tex]K\in BC[/tex] такава, че [tex]AK\parallel PQ[/tex].
От теоремата на Талес: [tex]\frac 73=\frac{BM}{MA}=\frac{BQ}{QK}\Rightarrow QK=\frac 37BQ[/tex]
Първи случай: [tex]P[/tex] лежи на страната [tex]CA[/tex], а [tex]Q[/tex] на продължението на [tex]CB[/tex]. Пак от теоремата на Талес:
[tex]x=\frac{CA}{CP}=\frac{CK}{CQ}=\frac{CQ+QK}{CQ}=1+\frac{QK}{CQ}=1+\frac 37\frac{BQ}{CQ}=1+\frac 37\frac{CQ-CB}{CQ}=1+\frac 37-\frac 37\frac{CB}{CQ}[/tex]
Оттук намираме [tex]\frac{CB}{CQ}=\frac 13\left(10-7x\right)[/tex]
Втори случай: [tex]P[/tex] лежи на продължението на [tex]CA[/tex], а [tex]Q[/tex] на страната [tex]BC[/tex].
[tex]x=\frac{CA}{CP}=\frac{CK}{CQ}=\frac{CQ-QK}{CQ}=\dots[/tex] и по същия начин се получава [tex]\frac{CB}{CQ}=\frac 13\left(10-7x\right)[/tex].
Следователно [tex]\frac{S_{ABC}}{S_{PQC}}=\frac 13 x(10-7x)[/tex] - квадратна функция, на която и търсим максимума в областта [tex]x\in\left(0,\frac{10}{7}\right)[/tex]
Максимумът се достига при [tex]x=\frac{5}{7}[/tex] и е [tex]\frac{25}{21}[/tex].