Изпитна задача вектори

[scola]

Дадени са т.А(3,-1,3); B(2,0,3) и C(2,-1,4).
Да се намери произведението на векторите АВ и АС ,ъгъл BAC, лицето на триъгълника ABC

[Добромир Глухаров]

$A(3,-1,3);\ B(2,0,3);\ C(2,-1,4)$

$\vec{AB}(2-3,0-(-1),3-3)=\vec{AB}(-1,1,0)$
$\vec{AC}(2-3,-1-(-1),4-3)=\vec{AC}(-1,0,1)$

$\vec{AB}.\vec{AC}=(-1).(-1)+1.0+0.1=1$

$\vec{AB}.\vec{AC}=|\vec{AB}|.|\vec{AC}|.cos\angle(\vec{AB},\vec{AC})=\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}.\sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}.cos\angle BAC$
$1=\sqrt{2}.\sqrt{2}.cos\angle BAC\Rightarrow cos\angle BAC=\frac{1}{2}\Rightarrow\angle BAC=60^\circ$

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.sin\angle BAC=\frac{1}{2}\cdot|\vec{AB}\times\vec{AC}|$

$\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{array}{|ccc|}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\-1&1&0\\-1&0&1\end{array}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}$

$\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}|\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}|=\frac{1}{2}\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$