Задача от Курсова работа

[Ивайло -врачански]

Здравейте , нов съм в този форум .Един приятел ми го препоръча .Векторите ми са много гадни не ги разбирам ,надявам се да ми помогнете . Ето я задачката

20200807_111010.jpg (1.51 MiB) Прегледано 1717 пъти

[Ивайло -врачански]

Може ли да ми помогнете поне с подточка а) как да докажа ,че правите AB и CD се пресичат
Моля Ви сигурен съм че ще я разбера .Моля ВИ помогнете с това как да реша подточка а )

[matst]

Точките [tex]M, N, P[/tex] са върхове на триъгълник [tex]\implies[/tex]

• те различни и от това следва, че [tex]\overrightarrow{MN}\not= \overrightarrow{0}[/tex], [tex]\overrightarrow{MP}\not= \overrightarrow{0}[/tex]
• те не лежат на една права [tex]\implies[/tex] двата вектора [tex]\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MP}[/tex] не са пропорционални

Така, за всяко число [tex]m[/tex] е в сила [tex]\overrightarrow{MN}\not= m \overrightarrow{MP}[/tex].
Точките [tex]A, B, C, D[/tex] лежат в равнината на [tex]\triangle MNP[/tex].
Вектор [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=(-\overrightarrow{MN}-4\overrightarrow{MP})-3\overrightarrow{MN}=-4\overrightarrow{MN}-4\overrightarrow{MP}[/tex].
Вектор [tex]\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MC}=(2\overrightarrow{MN}-3\overrightarrow{MP})-(2\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{MP})=-5\overrightarrow{MP}[/tex].
Следователно,

• [tex]\overrightarrow{AB}\not= \overrightarrow{0}[/tex] [tex]\implies[/tex] двете точки [tex]A, B[/tex] са различни
  [tex]\implies[/tex] правата [tex]AB[/tex] съществува, единствена е и лежи в равнината на [tex]\triangle MNP[/tex]
• [tex]\overrightarrow{CD}\not= \overrightarrow{0}[/tex] [tex]\implies[/tex] двете точки [tex]C, D[/tex] са различни
  [tex]\implies[/tex] правата [tex]CD[/tex] съществува, единствена е и лежи в равнината на [tex]\triangle MNP[/tex]
• за всяко число [tex]t[/tex] е в сила [tex]\overrightarrow{MN}\not= (5t/4 -1) \overrightarrow{MP}[/tex]
  [tex]\implies[/tex] [tex]\overrightarrow{AB}=-4\overrightarrow{MN}-4\overrightarrow{MP}\not= -5t\overrightarrow{MP}=t\overrightarrow{CD}[/tex]
  т.е. [tex]\overrightarrow{AB}\not= t\overrightarrow{CD}[/tex]

Следователно, двете прави [tex]AB[/tex], [tex]CD[/tex] лежат в една равнина и щом ненулевите вектори [tex]\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}[/tex] не са пропорционални,
то правите нито съвпадат, нито са успоредни.
Следователно, съществува единствена точка [tex]E=AB \cap CD[/tex].

За да се намери точка [tex]E[/tex] се прави следното:

• от [tex]E[/tex] лежи на правата [tex]AB[/tex] и [tex]\overrightarrow{AB}\not= \overrightarrow{0}[/tex] [tex]\implies[/tex] съществува единствено число [tex]x[/tex] такова, че [tex]\overrightarrow{AE}=x \overrightarrow{AB}[/tex]
  [tex]\implies[/tex] [tex]\overrightarrow{ME}-\overrightarrow{MA}=x (-4\overrightarrow{MN}-4\overrightarrow{MP})[/tex]
  [tex]\implies[/tex] [tex]\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MA}-4x\overrightarrow{MN}-4x\overrightarrow{MP}=3\overrightarrow{MN}-4x\overrightarrow{MN}-4x\overrightarrow{MP}=(3-4x)\overrightarrow{MN}-4x\overrightarrow{MP}[/tex]
• от [tex]E[/tex] лежи на правата [tex]CD[/tex] и [tex]\overrightarrow{CD}\not= \overrightarrow{0}[/tex] [tex]\implies[/tex] съществува единствено число [tex]y[/tex] такова, че [tex]\overrightarrow{CE}=y \overrightarrow{CD}[/tex]
  [tex]\implies[/tex] [tex]\overrightarrow{ME}-\overrightarrow{MC}=y (-5\overrightarrow{MP})[/tex]
  [tex]\implies[/tex] [tex]\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MC}-5y\overrightarrow{MP}=(2\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{MP})-5y\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}+(2-5y)\overrightarrow{MP}[/tex]

Следователно,
[tex]\overrightarrow{0}=\overrightarrow{ME}-\overrightarrow{ME}=((3-4x)\overrightarrow{MN}-4x\overrightarrow{MP})-(2\overrightarrow{MN}+(2-5y)\overrightarrow{MP})=(3-4x-2)\overrightarrow{MN}-(4x+2-5y)\overrightarrow{MP}[/tex]
[tex]\implies[/tex] [tex](1-4x)\overrightarrow{MN}=(4x+2-5y)\overrightarrow{MP}[/tex]. Не е възможно [tex](1-4x)\not= 0[/tex], защото в такъв случай се получава равенство
[tex]\overrightarrow{MN}=\frac{4x+2-5y}{1-4x}\;\;\overrightarrow{MP}[/tex], което е невъзможно пред вид на [tex]\overrightarrow{MN}\not= m \overrightarrow{MP}[/tex] за всяко число [tex]m[/tex].
Следователно, [tex]1-4x=0[/tex] и значи [tex]x=1/4[/tex]. Така,
[tex]\overrightarrow{ME}=(3-4x)\overrightarrow{MN}-4x\overrightarrow{MP}=(3-1)\overrightarrow{MN}-1\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}[/tex].
Отг. търсените координати са [tex](2,-1)[/tex].

[Ивайло -врачански]

За подточка б )
За да са колинеарни точките N , P и E трябва да лежат на една права .
Извинете ме много но и с тази подточка б) не успях да се справя .Моля Ви помогнете ми как да я реша

[Ивайло -врачански]

точка N трябва ли да е среда на PE
моля ви помогнете ! Моля ви

[Ивайло -врачански]

Извинете ме Гост . Но защо ми говорите така ? Нима ме познавате ..?
Та така аз не мисля че съм досаждал на някого просто търсих помощ само за една задача нито за две нито за три .... Само за една задача търсих помощ

[Здравко 99]

Мисля, че за да са колинеарни приятелю.Трябва да докажем PN=◇×PM
Където ◇ е число константа наричано още скалар.И аз не харесвам векторите но ако греша ме поправете

[KOPMOPAH]

Мисля, че за да са колинеарни приятелю.Трябва да докажем PN=◇×PM
Където ◇ е число константа наричано още скалар.И аз не харесвам векторите но ако греша ме поправете

Правилно, само дето трябва да се докаже че $\overrightarrow{PN}=◇×\overrightarrow{P\red{E}}$

[Ивайло -врачански]

Да аз тръгнах по този начин .Използвах правилото на триъгълника /релация на Шал/ но пак не стигам до това равенство
Може ли да ми помогнете как да го получа ?Как да докажа че трите точки лежат на права и са колинеарни

[Ивайло -врачански]

WIN_20200817_07_26_23_Pro.jpg (158.42 KiB) Прегледано 1366 пъти

Не мога да докажа че трите точки лежат на една права и са колинеарни P N E . По този начин се опитвам но нищо ...........
Моля ви помогнете ми за подточка б ) .А а ) я разбрах за което много благодаря
Предварително ВИ благодаря ! Бъдете живи и здрави .

[Illuzion]

Както беше доказано горе, точката $E$ има координати $(2, - 1)$. Нека $F$ е точката с координати $(2, 0)$. Имаме $$\vec{PE}=\vec{PF} +\vec{FE}=\vec{PM}+\vec{MF}+\vec{FE}=2\vec{MN}-2\vec{MP}. $$ Също така, $$\vec{PN}=\vec{PM} +\vec{MN}=\vec{MN}-\vec{MP}.$$ Окончателно, $$\vec{PE}=2\vec{PN},$$ с което сме готови.