Задача от контролна работа вектори

[Ивайло -врачански]

Може ли да ми помогнете с тази задача
Даден е триъгълник АВС с медиани АМ, ВН и СР . Докажете че:

а/ МН е успоредна на АВ и МН=1/2. АВ;

б/ МН и СР се разполовяват;

в/ Трите медиани се пресичат в една точка, която ги дели в отношение 2:1 считано от върха.

[KOPMOPAH]

Вектори.png (6.84 KiB) Прегледано 1311 пъти

а) Ще го докажем с вектори, макар че те се споменават единствено в темата на задачата, а не и в условието.
$$\overrightarrow{HM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AH}~~~~~~~~~~~(1)$$
$$\overrightarrow{AM}=\frac 12\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right)~~~~(2)$$
$$\overrightarrow{AH}=\frac 12\left(\overrightarrow{AC}\right)~~~~~~~~~~~~~~~~(3)$$
Заместваме от $(2)$ и $(3)$ в $(1)$ и след преработка:
$$\overrightarrow{HM}=\frac 12\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right)-\frac 12\left(\overrightarrow{AC}\right)=\cancel{\frac 12\overrightarrow{AC}}+\frac 12\overrightarrow{AB}-\cancel{\frac 12\overrightarrow{AC}}=\frac 12\overrightarrow{AB}$$ $${\color{red}\boxed{{\color{black}\overrightarrow{HM}=\frac 12\overrightarrow{AB}}}}$$
Последното равенство показва, че векторите $\overrightarrow{HM}$ и $\overrightarrow{AB}$ са колинеарни, значи успоредни (не минават през една точка) и дължината на $\overrightarrow{HM}$ е равна на половината от дължината на $\overrightarrow{AB}$.

[Ивайло -врачански]

в ) подточка я реших самичък .Остана ми б ) Моля вИ може ли да помогнете с б ) подточка .

[Ивайло -врачански]

АХаа
АЗ висля че за да докажа че MH и CP се разполовяват трябва да докажа че HGCM че е успоредник - Бъкам ли някъде ???

[KOPMOPAH]

АХаа
АЗ висля че за да докажа че MH и CP се разполовяват трябва да докажа че $\red{\cancel{HGCM}}$ $HPMC$ е успоредник - Бъкам ли някъде ???

Не, не бъркаш. Точно това е пътят за решаване. По подобие на подточка а) доказв аш, че $PM$ и $PH$ са успоредни съответно на $AC$ и $BC$ и равни на половините им. Оттам следва, че $HPMC$ е успоредник и нататък е ясно ...

[Ивайло -врачански]

Как да докажа че са успоредни

[KOPMOPAH]

$PM$ и $PH$ ВЪОБЩЕ НЕ са успоредни и няма как да са. Трябва да докажеш, че $PM||AC, PM = \frac 12 AC$ и $PH||BC, PH= \frac 12BC$. Доказва се по същия начин, по който $MH||AB, MH\ = \frac 12 AB$ в подточка а) по-горе.

[Ивайло -врачански]

Жив/а и здрав/а !
Благодаря