Задача от вектори прав.триъгълн.

[Здравко 99]

20200829_222938.jpg (537.32 KiB) Прегледано 1249 пъти

Може ли да помогнете как се решава задачата .Обяснете ми

[KOPMOPAH]

Правоъгълен триъгълник - вектори.png (7.76 KiB) Прегледано 1242 пъти

Перпендикулярност при задачи с вектори се доказва, като се използва това, че скаларното произведение на перпендикулярни вектори е равно на $0$.
За целта трябва векторите $AM$ и $CN$ да се изразят по подходящ начин, да се умножат скаларно и да се види дали се получава нула.

$$\overrightarrow {AM}=\frac 12 \left(\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AD}\right)$$
$$\overrightarrow {CN}=\frac 12 \left(\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {CB}\right)$$
$$\overrightarrow {AM}.\overrightarrow {CN}=\frac 12 \left(\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AD}\right).\frac 12 \left(\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {CB}\right)$$Дясната страна на равенството след разкриване на скобите изглежда така:
$$\frac 14 \left(\overrightarrow {AC}.\overrightarrow {CD}+\underbrace{\overrightarrow {AC}.\overrightarrow {CB}}_{=0}+\underbrace{\overrightarrow {AD}.\overrightarrow {CD}}_{=0}+\overrightarrow {AD}.\overrightarrow {CB}\right)=\frac 14 \left(\overrightarrow {AC}.\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {AD}.\overrightarrow {CB}\right)~~~~~~~~~~~~~(1)$$
Две от скаларните произведения са равни на $0$ и отпаднаха, защото векторите са перпендикулярни. Продължаваме да изразяваме:
$$\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {CD}=\overrightarrow {AD}\Rightarrow \overrightarrow {AC}=\overrightarrow {AD}-\overrightarrow {CD}$$
$$\overrightarrow {CB}=\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {DB}$$
Заместваме в $(1)$ и получаваме:$$\frac 14 \left(\overrightarrow {AC}.\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {AD}.\overrightarrow {CB}\right)=\frac 14 \left(\left(\overrightarrow {AD}-\overrightarrow {CD}\right).\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {AD}.\left(\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {DB}\right)\right)=$$
$$=\frac 14 \left(\underbrace{\overrightarrow {AD}.\overrightarrow {CD}}_{=0}-\underbrace{\overrightarrow {CD}^2}_{=|CD|^2}+\underbrace{\overrightarrow {AD}.\overrightarrow {CD}}_{=0}+\underbrace{\overrightarrow {AD}.\overrightarrow {DB}}_{=|AD|.|DB|}\right)$$
В скобите остава:$$-|CD|^2+|AD|.|DB|$$
От метричните зависимости в триъгълника е известно, че:$$|AD|.|DB|=|CD|^2,$$ следователно изразът в скобите е равен на $0$, което трябваше да се докаже.

[Евва]

Скрит текст: покажи

Може ли да се реши по този начин ?

Да означим [tex]\angle[/tex]DAM=[tex]\alpha[/tex] ,[tex]\angle[/tex]DCN=[tex]\varphi[/tex] ,BC=a,AC=b,CD=h,AD=[tex]b_{1 }[/tex],BD=[tex]a_{1 }[/tex] .
Нека правата АМ пресича отс.CN в точка Т.

tg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{MD}{AD}[/tex]=[tex]\frac{\frac{h}{2}}{b_{1 }}[/tex]=[tex]\frac{h}{2b_{1 }}[/tex]=[tex]\frac{h}{\frac{2h^{2}}{a_{1 }}}[/tex]=[tex]\frac{a_{1 }}{2h}[/tex]=[tex]\frac{\frac{a_{1 }}{2}}{h}[/tex]=[tex]\frac{DN}{CD}[/tex]=tg[tex]\varphi[/tex]

[tex]\alpha\in[/tex](0[tex]^\circ[/tex];90[tex]^\circ[/tex]) , [tex]\varphi\in[/tex](0[tex]^\circ[/tex];90[tex]^\circ[/tex])
Тогава [tex]\alpha[/tex]=[tex]\varphi[/tex]

([tex]\triangle[/tex]ANT) [tex]\angle[/tex]TAN+[tex]\angle[/tex]ANT+[tex]\angle[/tex]NTA=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\varphi[/tex]+(90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\varphi[/tex])+[tex]\angle[/tex]NTA=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]NTA=90[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] AT[tex]\bot[/tex]NT т.е.
АМ[tex]\bot[/tex]CN

[KOPMOPAH]

Може, аз я реших с вектори, защото задачата е във форума "Вектори"

[Illuzion]

И едно синтетично решение:

Нека $AM\cap CN=X.$ Знаем, че $\triangle ADC\sim \triangle CDB.$ Но $AM$ и $CN$ са съответни медиани, откъдето следва, че $\triangle AMC\sim \triangle CNB.$ Така $$\angle CNB=\angle AMC=\angle DMX$$ и значи $DNXM$ е вписан, следователно $\angle MXN=180^{\circ}-\angle MDN=90^{\circ}.$