Задача за 11 клас,материал- скаларно произведение на вектори

[Гост]

Даден е куб ABCDA1B1C1D1. Докажете,че правата CA1 е перпендикулярна на равнините (A, B1, D1) и (B, D, C1).

[Knowledge Greedy]

Избираме координатна система. Примерно [tex]AB^{\rightarrow}[/tex], [tex]AD^{\rightarrow}[/tex] и [tex]AA_1^{\rightarrow}[/tex]
Единицата - примерно ръб на куба.
Координатите на върховете на куба (респективно векторите с начало - началото [tex]A[/tex] и с тези краища) са:
[tex]A(0,0,0)[/tex]
[tex]B_1(1,0,1)[/tex]
[tex]D_1(0,1,1)[/tex]
[tex]C(1,1,0)[/tex]
[tex]A_1(0,0,1)[/tex]

Два от векторите, компланарни на равината [tex](AB_1D_1)[/tex] са [tex]\vec{AB_1}(1,0,1)[/tex] и [tex]\vec{AD_1}(0,1,1)[/tex]
За [tex]CA_1\bot(AB_1D_1)[/tex] достатъчно е да докажем, че скаларните произведения по-долу са нули.

[tex]\begin{array}{|l} \vec{AB_1}\vec{BA_1}=0 \\ \vec{AD_1}\vec{BA_1}=0 \end{array}[/tex]

Ами така е. Достатъчно е да приложите правилото за скаларно произведение в ортогонални координати. Умножите покоординатно тези вектори с [tex]\vec{CA_1}(-1,-1,1)[/tex] и съберете резултатите, и всичко се нарежда.
Т.е.
[tex]\begin{array}{|l} 1.(-1) + 0.(-1)+1.1 =0 \\ 0.(-1) + 1.(-1)+1.1 =0 \end{array}[/tex]
________________
С равнината [tex](BDC_1)[/tex] - аналогично. Само си избирате два от векторите компланарни на нея.

[KOPMOPAH]

Скаларно произведение.png (12.95 KiB) Прегледано 1595 пъти

Векторите, освен че са измислени да тормозят учениците, имат и чудесното свойство да доказват перпендикулярност. Винаги една перпендикулярност може да бъде доказана, като се намери съответното скаларно произведение и окаже ли се то равно на $0$, значи векторите, участващи в него са перпендикулярни с всички произтичащи от това последствия.

За да пишем по-малко букви обозначаваме $\overrightarrow {B_1A_1}=\overrightarrow {CD}=\overrightarrow a$, $\overrightarrow {DA}=\overrightarrow b$, $\overrightarrow {AA_1}=\overrightarrow {DD_1}=\overrightarrow c$, $\overrightarrow {CA_1}=\overrightarrow p$, $\overrightarrow {AD_1}=\overrightarrow q$ и $\overrightarrow {AB_1}=\overrightarrow r$.

Изразяваме:$$\overrightarrow {p}=\overrightarrow a +\overrightarrow b+\overrightarrow c \\ \overrightarrow {q}=\overrightarrow c -\overrightarrow b \\ \overrightarrow {r}=\overrightarrow c -\overrightarrow a$$
Намираме скаларното произведение:$$\overrightarrow {p}.\overrightarrow {q}=\left(\overrightarrow a +\overrightarrow b+\overrightarrow c \right)\left(\overrightarrow c-\overrightarrow b\right)= \\ =\overrightarrow a.\overrightarrow c+\overrightarrow b.\overrightarrow c+\overrightarrow c.\overrightarrow c-\overrightarrow a.\overrightarrow b-\overrightarrow b.\overrightarrow b-\overrightarrow b.\overrightarrow c$$
Векторите $\overrightarrow {a}$, $\overrightarrow {b}$ и $\overrightarrow c$ са перпендикулярни, значи всички техни скаларни произведения са нули, а тъй като са ръбове на куб - и модулите им са равни, значи $$\overrightarrow {c}.\overrightarrow c =\overrightarrow b.\overrightarrow {b} \Rightarrow \overrightarrow {p}.\overrightarrow {q}=0$$

Съответно по същия начин се доказва, че$$ \overrightarrow {p}.\overrightarrow {r}=0$$Щом права е перпендикулярна на две пресичащи се прави ($CA_1 \bot AD_1$ и $CA_1 \bot AB_1$) от дадена равнина, значи тази права е перпендикулярна и на самата равнина, определена от тези прави.