Обем на тетраедър

[Здравко 99]

20201030_164511.jpg (23.59 KiB) Прегледано 2049 пъти

Може ли да помогнете за 1ва
За обем получавам 0

[Здравко 99]

20201030_172601.jpg (962.65 KiB) Прегледано 2039 пъти

Ето как се опитах така ли е

[Здравко 99]

Опитах всякак получавам 0

[Здравко 99]

20201101_104257.jpg (1.74 MiB) Прегледано 1880 пъти

Греша ли някъде

[Здравко 99]

Може ли някаква помощ

[Knowledge Greedy]

Какво е означено с [tex]\left \{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \right \}\in S^{-}[/tex] ?

[Здравко 99]

Тава означава че произведението на а б и це и отрицателно

[Knowledge Greedy]

За Здравко 99.png (114.56 KiB) Прегледано 1693 пъти

Тъй като [tex]\vec {OB}\bot \vec {OA}[/tex] и [tex]\vec {OC}\bot \vec {OA}[/tex] - съгласно определението за векторно произведение
(и модулът на [tex]\vec {OA}[/tex] е височина на тетраедъра),

[tex]V_{OABC}=\frac{1}{6} \left | \vec {OA} \times \vec {OB} \times \vec {OC} \right |[/tex]
(понеже лицето на основата [tex]S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}OB.OC.sin \angle BOC[/tex] - точно половината от модула на векторното произведение)

Решение:
Пресмятаме скаларните произведения по двойки.
[tex]\vec{a}\vec{b}=1.2.cos\frac{\pi}{3}=1[/tex]

[tex]\vec{b}\vec{c}=2.\sqrt{2}.cos\frac{\pi}{3}=\sqrt{2}[/tex]

[tex]\vec{a}\vec{c}=1.\sqrt{2}.cos\frac{\pi}{2}=0[/tex]

[tex]\vec{OB}=(\vec {a} \times \vec {b}) \times \vec {c} =(\vec {a} \vec {c}) \vec {b}-(\vec {a} \vec {b}) \vec {c} =0 \vec {b}-1. \vec {c}=- \vec {c}[/tex]

[tex]\vec{OC}=(\vec {a} \times \vec {b}) \times (\vec {b} \times \vec {c}) =(\vec {a} \vec {b} \vec {c}) \vec {b}-(\vec {a} \vec {b}^2) \vec {c}[/tex]
[tex][/tex]
Тук ще си послужим с детерминантата на Грам [tex](\vec {a} \vec {b} \vec {c})^2=|\begin{vmatrix}
\vec {a} \vec {a} & \vec {a} \vec {b} & \vec {a} \vec {c} & \\
\vec {b} \vec {a} &\vec {b} \vec {b} & \vec {b} \vec {c} \\
\vec {c} \vec {a} &\vec {c} \vec {b} & \vec {c} \vec {c}
\end{vmatrix}|=|\begin{vmatrix}
1 & 2 & 0 & \\
2 &4 & \sqrt{2} \\
0 & \sqrt{2} & 2
\end{vmatrix}|=8+0+0-0-2-8=2[/tex]

[tex]\Rightarrow \,\ \vec {a} \vec {b} \vec {c} =\sqrt{2}[/tex]

Дотук [tex]\vec{OC} =\sqrt{2} \vec {b}-(\vec {a} \vec {b}^2) \vec {c}[/tex]

Отново с с детерминантата на Грам [tex](\vec {a} \vec {b} \vec {b})^2=|\begin{vmatrix}
\vec {a} \vec {a} & \vec {a} \vec {b} & \vec {a} \vec {b} & \\
\vec {b} \vec {a} &\vec {b} \vec {b} & \vec {b} \vec {b} \\
\vec {b} \vec {a} &\vec {b} \vec {b} & \vec {b} \vec {b}
\end{vmatrix}|=0[/tex] - заради пропорционалните втори и трети ред.

Дотук [tex]\vec{OC} =\sqrt{2}\,\ \vec {b}- 0.\,\ \vec {c}[/tex]

Значи [tex]\vec{OC} =\sqrt{2}\,\ \vec {b}[/tex]

Дотук [tex]\vec{OC} =\sqrt{2}\,\ \vec {b}- 0.\,\ \vec {c}[/tex]

Значи [tex]\vec{OC} =\sqrt{2}\,\ \vec {b}[/tex]

Накрая ще умножим [tex]\vec {OA} \times \vec {OB} \times \vec {OC}=(\vec {a} \times \vec {b}) \times (- \vec {c}) \times ( - \sqrt{2} \,\ \vec {b})[/tex]
Резултатът е вектор, но ние ще се интересуваме само от [tex]\frac{1}{6}[/tex] от неговия модул.
Действаме: [tex]\vec {OA} \times \vec {OB} \times \vec {OC}=(\vec {a} . (- \vec {c})). (\vec {b} \times \sqrt{2}.\,\ \vec {b})-(\vec {b} . (- \vec {c})). (\vec {a} \times \sqrt{2}.\,\ \vec {b})[/tex]

[tex]\vec {OA} \times \vec {OB} \times \vec {OC}=0. (\vec {b} \times \sqrt{2}.\,\ \vec {b})-(- \sqrt{2}) . (\sqrt{2}). (\vec {a} \times \,\ \vec {b})=-2 (\vec {a} \times \,\ \vec {b})=-2.1.2.sin\frac{\pi}{3}=-2\sqrt{3}[/tex]

Следователно [tex]V_{OABC}=\frac{1}{6}.2\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]