Задача от 11 клас свързани с вектори

[Гост]

B паралелепипед ABCDA1B1C1D1 т. М е среда на ръба ВC. Права през М пресича диагонала АС1 и DD1 съответно в точките N и P. Намерете отношението MN:NP.

[KOPMOPAH]

Самото правене на чертежа към задачата е едно предизвикателство и удоволствие.

Задача от 11 клас свързани с вектори.png (18.7 KiB) Прегледано 1291 пъти

С подобни триъгълници сравнително лесно се намира съотношението, хубаво е да се види едно чисто векторно решение, след като задачата е от този раздел.

[Гост]

Добър вечер!

Моля обяснете подробно задачата при възможност не с lim.
Търис се MN : NP

Благодаря предварително!

[KOPMOPAH]

Нямам никаква идея как би могла да се реши тази задача с lim , даже би ми било интересно къде може да се търси граница...

Разглеждаме триъгълниците $\triangle AHD$ и $\triangle BHC$. Те са подобни (ясно защо... или? ), следователно $$\frac{HD}{MH}=\frac{AD}{MC}=\frac21~~~~~~~~~~~(1)$$
Сега пък разглеждаме триъгълниците $\triangle MDP$ и $\triangle MHN$. Те също са подобни (ясно защо... или не съвсем? ). От тяхното подобие се получава$$\frac{MD}{MH}=\frac{MP}{MN}$$Нататък $$\frac{MD}{MH}-1=\frac{MP}{MN}-1$$ $$\frac{MD-MH}{MH}=\frac{MP-MN}{MN}$$ $$\frac{HD}{MH}=\frac{NP}{MN}\Leftrightarrow \frac{MH}{HD}=\frac{MN}{NP}~~~~(2)$$Според равенство $(1)$ $$\frac{HD}{MH}=\frac{AD}{MC}=\frac21 \Rightarrow \frac{MH}{HD}=\frac{MC}{AD}=\frac12~~~~(3)$$От равенствата $(2)$ и $(3)$ получаваме окончателно$$\frac{MH}{HD}=\frac{MN}{NP}=\frac12$$

[Гост]

zadachata bukvalno stava s edin red:H e medicentar v BDC(zashto?) i ottam MH/DH=1/2=MN/NP

[Гост]

tunkijat moment e, che treba da se dokazhe, che NH II DD1

[Гост]

interesno e da se izchisli [tex]\lim_{M \to B} \frac{MN}{NP}[/tex]

[ptj]

interesno e da se izchisli [tex]\lim_{M \to B} \frac{MN}{NP}[/tex]

Нулева трудност.
В граничната точка [tex]М \equiv B[/tex]. Двата диагонала [tex]AC_1[/tex] и [tex]BD_1[/tex] имат обща среда, т.е. сечението на равнината [tex]BDD_1[/tex] и диагонала [tex]AC_1[/tex] e точно споменатата негова среда. Търсената граница е 1.

П.П. В граничния случай [tex]P \equiv D_1[/tex]