Вектори и успоредник

[Гост]

Даден е успоредник $ABCD,AC\cap BD=O$ и точка $M$ е средата на отсечката $DO$. Ако $\vec{AB}=\vec{a}$ и $\vec{AD}=\vec{b}$, то НЕ е вярно, че:
А)$\vec{AM}=\dfrac{\vec{a}+3\vec{b}}{4} $
Б) $\vec{AM}=\dfrac{\vec{b}+3\vec{a}}{4}$
В) $\vec{CM}=\dfrac{\vec{(-b)}+3\vec{(-a)}}{4}$
Г) $\vec{CM}=\dfrac{(-1)\vec{b}+(-3)\vec{a}}{4}$

С векторното НДУ точка да е среда на отсечка установих, че А) е наистина вярното изразяване на $\vec{AM}$ чрез $\vec{a}$ и $\vec{b}$, т.е. отговор Б) е грешен, т.е. верен според изискванията на задачата. Да, правилно съм преписал отговор В). Има ли наистина такъв запис $\vec{(-x)}$ например (под стрелката Е И МИНУСА, т.е. и скобите, но по някаква причина не се визуализират добре векторите)? За $CM$ имаме: $$\vec{CM}=\dfrac12\left(\vec{CD}+\vec{CO}\right)=\dfrac12\left[-\vec{a}+\dfrac12\vec{CA}\right]=...$$ Тук малко ми е объркващо как да продължа. Трудно ми е в такива изрази да работя с противоположни вектори, не знам кога да сменя знака и дали може, да разместя буквите и така. Благодаря предварително!

[Евва]

Да пресметнем на кой вектор е равен израза от Б) .
[tex]\frac{ \vec{b} +3\vec{a} }{4}[/tex]= [tex]\frac{3}{4}[/tex][tex]\vec{a}[/tex]+[tex]\frac{1}{4}[/tex][tex]\vec{b}[/tex]=

=[tex]\vec{a}[/tex]-[tex]\frac{1}{4}[/tex][tex]\vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}[/tex]=

=[tex]\vec{a}[/tex]+[tex]\frac{1}{4}[/tex]( -[tex]\vec{AB}[/tex]+[tex]\vec{AD}[/tex] )=

=[tex]\vec{a}[/tex]+[tex]\frac{1}{4}[/tex]([tex]\vec{BA}[/tex]+[tex]\vec{AD}[/tex])=

=[tex]\vec{a}[/tex]+[tex]\frac{ \vec{BD} }{4}[/tex] =

Скрит текст: покажи

Нека т.Р е среда на отс.ОВ .

=[tex]\vec{АВ}[/tex]+[tex]\vec{ВР}[/tex]= [tex]\vec{АР}[/tex] [tex]\ne[/tex][tex]\vec{АМ}[/tex]

[Евва]

[tex]\vec{CM}[/tex]=?

[tex]\vec{CM}[/tex]=[tex]\vec{CD}[/tex]+[tex]\vec{DM}[/tex]= -[tex]\vec{DC}[/tex]+[tex]\frac{1}{4}[/tex][tex]\vec{DB}[/tex]=

= -[tex]\vec{a}[/tex]+[tex]\frac{1}{4}[/tex]([tex]\vec{DA}[/tex]+[tex]\vec{AB}[/tex])= -[tex]\vec{a}[/tex]+[tex]\frac{1}{4}[/tex]( -[tex]\vec{AD}[/tex]+[tex]\vec{AB}[/tex])=

= -[tex]\frac{ \vec{a} }{1}[/tex] -[tex]\frac{1}{4}[/tex][tex]\vec{b}[/tex]+[tex]\frac{1}{4}[/tex][tex]\vec{a}[/tex]= -[tex]\frac{ \vec{b} }{4}[/tex] -[tex]\frac{3 \vec{a} }{4}[/tex]=

= [tex]\frac{(- \vec{b} ) +3(- \vec{a} )}{4}[/tex]=

=[tex]\frac{(-1) \vec{b} +(-3) \vec{a} }{4}[/tex]