Операции с вектори

[gergana.mat]

Изпитвам затруднение със следната задача: В успоредника ABCD точките M и N са среди съответно на BC и CD. Точката P е такава, че четириъгълникът AMPN е успоредник. Докажете, че С [tex]\in[/tex] AР.

[nikola.topalov]

Теорема: Ако [tex]\overrightarrow{a}=\lambda \overrightarrow{b}[/tex] за [tex]\lambda\in\mathbb{R}[/tex], то [tex]\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}[/tex]. Обратно, ако [tex]\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}[/tex], то [tex]\exists ! \lambda\in\mathbb{R}:\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{b}[/tex].

Понеже по условие [tex]AMPN[/tex] е успоредник, то [tex]\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}[/tex]. Имаме
[tex]\begin{array}{|l} \overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} \end{array}[/tex]
откъдето [tex]\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}[/tex]. Но [tex]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}[/tex] и следователно [tex]\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AP}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}[/tex]. Това означава, че [tex]\overrightarrow{AP}\parallel\overrightarrow{AC}[/tex] според теоремата, а оттук и че точките [tex]A[/tex], [tex]C[/tex] и [tex]P[/tex] лежат на една права.