Въпроси по вектори

[Какаши Сенсей]

Моля да ме простите, за това че задавам всеки път много прости въпроси. Но просто не мога да си ги обясня и за това
прибягвам тук, защото знам, че има много умни математици, които ще могат да ми обяснят нещата. Та въпроса ми е
каква е разликата между [tex]\vec{a}[/tex] и | [tex]\vec{a}[/tex] | ? Другият ми въпрос е какво всъщност показва
умножението на два вектора? Нима [tex]\vec{a}[/tex]*[tex]\vec{b}[/tex]*cos[tex]\alpha[/tex], ни дава число което показва
дължината на [tex]\vec{a}[/tex] умножена по н-пъти по дължината на [tex]\vec{b}[/tex] ?
А и също, защо има задачи които искат да се докажат векторни тъждества, от вида на [tex]( \vec{a} + \vec{b} )^{2 }[/tex].
А и как може да cos[tex]\alpha[/tex]= [tex]\frac{ \vec{b} \vec{a} }{ \vec{|a|} \vec{|b|} }[/tex], не би ли трябвало [tex]\vec{a}[/tex] да се съкрати с [tex]\vec{|a|}[/tex] , а [tex]\vec{b}[/tex] с [tex]\overline{|b|}[/tex] и да се получи отговор едно.
Зададох доста въпроси, но ще се радвам ако някой успее да ми даде малко по дълъг отговор, така да се каже за хора, които
трудно си преставят нещата само на думи? Ако може да ми дадете геометричен смисъл на горните тъждества ще съм много доволен!
Особенно, ако има такъв за векторното произведение. Благодаря ви предварително!

[Nathi123]

Насочена отсечка е отсечка на която единият край е зададен като първи. Т.е. разликата между отсечката АВ и [tex]\vec{АВ}[/tex] е тази,че първата се състои от всички точки ,които лежат на една права ( определена от точките А и В )и се намират между тези две точки.Така обикновената отсечка АВ се характеризира само с дължина |AB| и е разстоянието между тези 2 точки.Насочената отсечка [tex]\vec{АВ}[/tex] има дължина ( същото това разстояние ) и посока от А към В .Всички насочени отсечки равни на горната насочена отсечка образуват множество ,което се нарича например вектор [tex]\vec{a}[/tex]. ( Това е единият подход за определяне на понятието ,,вектор" ).
В училищният курс по математика се изучават операциите събиране,изваждане на вектори,произведение на вектор с число и скаларно произведение на два вектора.
Определенията на тези операции и свойствата им са описани подробно в съответните учебници по математика.Тези операции с вектори имат аналогични свойства на операциите събиране ,изваждане и умножение с реални числа.Затова и ( [tex]\vec{a}+ \vec{b}) ^{2 }= \vec{a} ^{2 } +2 \vec{a} \vec{b}+ \vec{b} ^{2 }[/tex];
Скаларно произведение на 2 вектора по определение е число ,което се получава по следния начин: [tex]\vec{a}. \vec{b} =| \vec{a} |.| \vec{b}|.cos \varphi[/tex],където
[tex]\varphi[/tex] е ъгълът между двата вектора.( Няма да се впускам в подробности как се определя този ъгъл-има го в учебниците).От това определение се получава,че
|[tex]\vec{a}| ^{2 }= \vec{a} ^{2 }[/tex].Тук е важно да се разбере ,че вектор е величина ,която се характеризира с 2 елемента - дължина и посока.
А дължината на даден вектор |[tex]\vec{a}|[/tex] е реално число измерено в см;м или други мерки за дължина - т.е. е скалар. Поради тази причина не може да се извършва съкращение ,за което пита Какаши Сенсей в написаното от него равенство.( Просто не можем да приложим основното свойство на дробите ,че можем да разделим числителя и знаменателя на дадена дроб на едно и също число ,защото дължината е число,а векторът не е число!).

[Какаши Сенсей]

Най-искрено Ви благодаря Nathi123, за пълния отговор! Сега нещата са ми много по-ясни!Само единствено не разбрах, какво ни показва умножението
на двата вктора, какво ни показва то? Има ли го някъде илюстрирано с geo gebra?

[Nathi123]

Това ,което се учи в училищния курс по математика е скаларно произведение на 2 вектора. Има и векторно произведение,което се учи във висшите учебни заведения.
Самото наименование казва,че първото произведение е скалар т.е. число,което се получава по съответното определение,което ще напиша малко по - долу.Другото произведение ( векторно ) е вектор с определена посока и дължина.
И така ,ако имаме векторите( насочените отсечки) [tex]\vec{AC}[/tex] и [tex]\vec{AB}[/tex], ъгълът между тях е [tex]\angle САВ[/tex]. Тогава по определение скаларното
произведение на тези 2 вектора е : [tex]\vec{AC}. \vec{AB} = | \vec{AC}|.| \vec{AB}| cos \angle CAB[/tex]. Geo gebra не ми е любимият софтуер за чертане,така че не мога да ти отговоря на последния въпрос.

[Какаши Сенсей]

Благодаря Ви Nathi123, за отговорите, които ми дадохте!

[Гост]

https://www.youtube.com/watch?v=oYBiqB26EYw
В този видеоклип всичко се разкава с точност!