Задача с вектори - помощ

[Гост]

Моля ви помогнете с тази задача.

Върху страните AB и BC на квадрата ABCD са взети съответно
точките P и Q така, че BP = BQ. Точката H е петата на перпендикуляра,
построен от точката B към правата CP. Докажете, че ∡DHQ = 90°.

[Гост]

vv.png (28.24 KiB) Прегледано 1199 пъти

[Гост]

popravka, D,H,B ne sa kolinerarni

vv.png (27.88 KiB) Прегледано 1188 пъти

[nikola.topalov]

Нека [tex]A(0,0)[/tex], [tex]B(1,0)[/tex] и [tex]D(0,1)[/tex]. Тогава [tex]C(1,1)[/tex]. Ако точка [tex]P[/tex] е с координати [tex](x_0,0)[/tex], то лесно се показва, че [tex]Q(1,1-x_0)[/tex]. Уравнението на правата [tex]CP[/tex] намираме [tex]y=\dfrac{1}{1-x_0}x-\dfrac{x_0}{1-x_0}[/tex]. Тъй като правите [tex]CP[/tex] и [tex]BH[/tex] са взаимно перпендикулярни, то произведението от ъгловите им коефициенти е [tex]-1[/tex]. Освен това използваме, че точка [tex]B(1,0)\in BH[/tex], откъдето и намираме уравнението на правата [tex]BH[/tex], което е [tex]y=(x_0-1)x+1-x_0[/tex]. Изравняваме двете уравнения и за координатите на пресечната им точка [tex]H[/tex] получаваме $$H\left(\dfrac{x_0^2-x_0+1}{x_0^2-2x_0+2},\dfrac{x_0^2-2x_0+1}{x_0^2-2x_0+2}\right)$$ Оттук намираме координатите на векторите $$\overrightarrow{HD}\left(-\dfrac{x_0^2-x_0+1}{x_0^2-2x_0+2},\dfrac{1}{x_0^2-2x_0+2}\right)$$ и $$\overrightarrow{HQ}\left(\dfrac{-x_0+1}{x_0^2-2x_0+2},\dfrac{-x_0^3+2x_0^2-2x_0+1}{x_0^2-2x_0+2}\right)$$ Сега пресмятаме тяхното скаларно произведение
$$\overrightarrow{HD}\cdot\overrightarrow{HQ}=\dfrac{x_0^3-2x_0^2+2x_0-1}{(x_0^2-2x_0+2)^2}+\dfrac{-x_0^3+2x_0^2-2x_0+1}{(x_0^2-2x_0+2)^2}=0$$ Понеже [tex]\overrightarrow{HD}\cdot\overrightarrow{HQ}=0[/tex], то [tex]\overrightarrow{HD}\perp\overrightarrow{HQ}[/tex], с което задачата е решена.