Обем да тетраедър

[RmR]

Добър ден. Явно имам сериозен проблем със тези вектори и ще ви помоля ако може някой да ми реши смесеното произведение подробно стъпка по стъпка... Задачата е:[tex]| \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = 2, | \vec{c} | = \sqrt{2}[/tex]
[tex]\angle (\vec{a},\vec{c}) = pi/2 , \angle (\vec{a},\vec{b}) = \angle (\vec{b},\vec{c}) = pi/3[/tex]
{[tex]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/tex]}[tex]\in[/tex] S-
[tex]\vec{OA} = \vec{a}x\vec{b}, \vec{OB} = (\vec{a}x\vec{b})x\vec{c}, \vec{OC} = (\vec{a}x\vec{b})x(\vec{b}x\vec{c}).[/tex]
Да се намери обема на OABC.

Аз го докарвам само до разлагането.. получавам [tex]\vec{OA} = \vec{a}x\vec{b}, \vec{OB} = - (\vec{b} \vec{c}) \vec{a}, \vec{OC} = (\vec{a} \vec{b} \vec{c}) \vec{b}.[/tex]
И след това каквото и да разлагам ми се получава вектор накрая ...

[ptj]

http://stancho.roncho.net/HighMath/AG/CrossPr/CrossPr.html

Използвай формулите за аналитичен израз на векторното произведение, но първо си намери координатите на базовите вектори. Приемаш, че всички започват от координатното начало.
[tex]\vec {a}(1,0,0)[/tex]; [tex]\vec {c}(0,0,\sqrt{2} )[/tex];

От това, че знаеш [tex]\vec {a} \text{x} \vec {b}[/tex], [tex]\vec{b}\text{x} \vec {c}[/tex] и [tex]|\vec {b}|[/tex], получаваш система за координатите на [tex]\vec {b}[/tex].

П.П. Може и да има друг по-бърз и рационален начин.

[RmR]

хм... и аз за друг мислех. понеже като цяло търся[tex]\vec{OA} \vec{OB} \vec{OC}[/tex] - това смесено произведение и опитах нещо първите два вектора да ги умножа векторно и т.н., но винаги ми остава накрая един... примерно -(bc)a x (abc)b не зная дали точно смятам, но получавам -(bc)(abc)axb и след като го умножа с вектора OA става -(bc)(abc)(аxb)^2 , от където пак ще ми остане вектор ....... (извинете, че не слагам знака за вектор)