База от вектори

[Гост]

Здравейте! Може ли някой да ми обясни какъв е алгоритъмът за решаване на задачи от този тип. Как да разбера от къде да започна, аз разбирам как става решението в тази задача, но не разбирам защо се прави. Не разбирам и как се получава оградената част на снимката ще се радвам да ми помогнете.
Благодаря, предварително!

[ammornil]

Няма алгоритъм за решение на "всички задачи" от определен дял (раздел) в математиката. Различни групи задачи имат сходни модели за решение. Общата идея е да се използва даденото за да се изрази търсеното. Понякога се налага да се въвеждат допълнителни параметри (неизвестни величини или допълнителни построения) за да се опише даденото в единен модел.

В случая, понеже задачата се решава с вектори а няма даден по условие базис, трябва да се избере удобен базис във векторноро пространство. Понеже имаме дадено тяло, то лежи в тримерно пространство, затова избираме тримерен базис (три сходящи, свободни, линейно независими вектора). Ако последното не Ви е ясно, ще трябва да си прочетете цялата теория за вектори отначало.

...
Без да повтарям цялото решение, дадено по-горе на снимката, ето откъде идва изразът в червеното поле:

[tex]\vec{BA_{1}}=\vec{a}+\vec{c} \Rightarrow \alpha _{1}.\vec{BA_{1}}=\alpha _{1}(\vec{a}+\vec{c})=\alpha _{1}.\vec{a} +\alpha _{1}.\vec{c}[/tex]
[tex]\vec{BC}=\vec{b} \Rightarrow \alpha _{2}.\vec{BC}=\alpha _{2}.\vec{b}[/tex]

[tex]\vec{BK}=\alpha _{1}.\vec{BA_{1}}+\alpha _{2}.\vec{BC}=\alpha _{1}.\vec{a} +\alpha _{1}.\vec{c}+\alpha _{2}.\vec{b}[/tex]

[tex]\begin{array}{l} \vec{BK}=\left(1-\frac{7x}{8} \right)\vec{a}+\frac{3x}{8}\vec{b} +x\vec{c} \\ \vec{BK}=\phantom{QQQ} \alpha _{1}.\vec{a} +\alpha _{2}. \vec{b} +\alpha _{1}.\vec{c} \end{array}[/tex]
Понеже във всяко пространство с определен базис, всеки вектор има единствен* запис в базиса, следва че коефициентите пред еднаквите базисни вектори в тези два записа са равни.
Оттам [tex]\begin{array}{|l} \alpha _{1}=1-\frac{7x}{8} \\ \alpha _{2}=\frac{3x}{8} \\ \alpha _{1}=x \end{array}[/tex]
Понеже в първото и третото уравнение левите страни са равни, следва че и десните също са равни: [tex]1-\frac{7x}{8}=x \Leftrightarrow 8-7x=8x \Leftrightarrow 8=15x \Leftrightarrow x=\frac{8}{15}[/tex]
...

*С други думи, всеки вектор в дадено пространство може да бъде изразен по един единствен начин като сбор от едичните вектори на базата умножени с подходящи коефициенти. Коефициентите образуват уникална, единствена комбинация.