Изразяване на вектори

[minaN]

Даден е триъгълник ABC, [tex]\vec{CA}[/tex] [tex]\epsilon[/tex] [tex]\vec{a}[/tex], [tex]\vec{CB}[/tex] [tex]\epsilon[/tex] [tex]\vec{b}[/tex]. Точката М е среда на АВ. Точките N и P са от страната CB, така че CN=NP=PB. F е пресечна точка на CM и AN. Да се изразят чрез векторите [tex]\vec{a}[/tex] и [tex]\vec{b}[/tex], векторите [tex]\vec{CM}[/tex], [tex]\vec{AN}[/tex], [tex]\vec{CF}[/tex] и [tex]\vec{BF}[/tex].

[grav]

Какво си направила/опитала?

[minaN]

Имам изразени [tex]\vec{CM}[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex]([tex]\vec{a}[/tex] + [tex]\vec{b}[/tex]) и [tex]\vec{AN}[/tex] = -[tex]\vec{a}[/tex] + [tex]\frac{1}{3} \vec{b}[/tex].
Но при [tex]\vec{CF}[/tex] не знам как ще се получи, а за да изразя [tex]\vec{BF}[/tex], ми е нужен [tex]\vec{CF}[/tex].

[grav]

Но при [tex]\vec{CF}[/tex] не знам как ще се получи, а за да изразя [tex]\vec{BF}[/tex], ми е нужен [tex]\vec{CF}[/tex].

Да, за това не виждам нищо лесно.

[minaN]

Аз изобщо не виждам вариант, при който [tex]\vec{CF}[/tex] би се изразил.

[ptj]

Трябва да ползваш теорема на Талес за да пренесеш съотношения между отсечки от една права на друга.

1.) [tex]MP= \frac{1}{2} AN[/tex] (средна отсечка).

2.) Построй права през [tex]N[/tex] успордна на [tex]CM[/tex] и означи пресечената точка върху [tex]AB[/tex] с [tex]Т[/tex].

3.) [tex]MT:TB=CN:NB=1:2 \Rightarrow MT= \frac{1}{3}MB= \frac{1}{3} AM \Rightarrow AM:MT=3:4[/tex].

4.) От Талес получаваш [tex]\vec{AF}= \frac{3}{4} \vec{AN}= \frac{3}{4} (\vec{AC}+\vec{CN})= \frac{3}{4}(\vec{-a}+ \frac{1}{3}\vec{b})[/tex]

Нататък е лесно...